Métrica plana inducida a partir de Schwarzschild

Question

La tarea consiste en encontrar una función $f(r)$ tal que la métrica inducida de la métrica de Schwarzschild

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2m}{r}\right) dt^2 + \frac{1}{1-\frac{2m}{r}} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$

en el nivel establecido $\{t=f(r)\}$ es plana. Mi primer intento fue adivinar

$$ dt=0 = f'(r)dr$$

pero no me llevó a ninguna parte. Mi otra idea era introducir coordenadas avanzadas y retardadas $v=t-r$ y $u=t+r$ pero ahí también estoy atascado. Tal vez alguien podría dar una guía, una pista o una dirección.

Answer 1

Usted tiene $dt=f'dr$ así que $ds^2=(\varphi^{-1}-f'^2\varphi)dr^2+r^2d\Omega^2$ con $\varphi:=1-\frac{2m}{r}$ . Queremos que el $dr^2$ coeficiente para ser $1$ Así que $f'^2=\frac{1-\varphi}{\varphi^2}$ . A partir de ahí, puedes echar el resto.