Si $UU^*=I$ es el grupo unitario, lo que es $(UU^*)^2=1$ ?

Question

Dejemos que $U$ ser un $n\times n$ matriz compleja que satisface:

$$ UU^*UU^*=I $$

¿Se deduce que $UU^*=I$ ?

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Déjame intentarlo:

$$ UU^*UU^*=(UU^*)^2=I\implies UU^*=\pm \sqrt{I} $$

Ahora la raíz cuadrada de $I$ es el conjunto de todas las matrices $A^2=I$ .

¿Tiene este "grupo" alguna propiedad interesante, especialmente en la física?

Answer 1

Por la condición dada, ambos $UU^\ast$ y $I$ son raíces cuadradas semidefinidas positivas de $I$ . Como cada matriz PSD tiene una única raíz cuadrada PSD, tenemos $UU^\ast=I$ es decir, $U$ es simplemente una matriz unitaria.