¿Hay alguna razón para que los factores primos de $|M_{24}|$ son todos uno menos que los factores de $24$ ?

Question

Wikipedia dice de la Grupo Mathieu $M_{24}$ , a $5$ -grupo de permutación transitivo que actúa sobre $24$ puntos,

$$ |M_{24}|= 2^{10}\cdot3^3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot23. $$

Los factores primos $2,3,5,7,11,23$ son todos uno menos que uno de los factores $3,4,6,8,12,24$ de $24$ .

¿Estoy loco? ¿Es una coincidencia o admite una explicación?

(Supongo que podría ser una combinación de ambos: tal vez los factores $11$ y $23$ para algunos $24$ -relacionado con la razón y $2,3,5,7$ por la ley de los números pequeños, por ejemplo).

Answer 1

El hecho de que $M_{24}$ es 5-transitivo obliga a que su orden sea $$ |M_{24}| = 24 \cdot (24-1) \cdot (24-2) \cdot (24-3) \cdot (24-4) \cdot |H|, $$ donde $H$ es el subgrupo que fija cualquier lista ordenada de cinco puntos distintos. (De hecho, tenemos $|H| = 48$ .) De ello se desprende que $|M_{24}|$ es divisible por \begin{align*} 24 \cdot \frac{24-1}{1} \cdot \frac{24-2}{2} \cdot \frac{24-3}{3} \cdot \frac{24-4}{4} & = 24 \cdot \left(\frac{24}{1}-1\right) \cdot \left(\frac{24}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{24}{3}-1\right) \cdot \left(\frac{24}{4}-1\right) \\ & = 24 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 5. \end{align*} Así que los primos $5, 7, 11$ y $23$ surgen "porque" son uno menos que los divisores de $24$ . Los primos restantes, $2$ y $3$ aparecen en varios lugares: como divisores de $24$ como divisores de $|H|$ y en los denominadores que hemos introducido.