Clasificar las singularidades para $f(z) = \frac{z}{e^{3z}-1} $ y encontrar el residuo

Question

Clasificar las singularidades para $f(z) = \frac{z}{e^{3z}-1} $ . Traté de resolver $e^{3z} = 1 $ con $3z = \log 1$ que da $z = 2k\pi/3$ .

Si esto es correcto, ¿cómo puedo encontrar los residuos? He intentado utilizar el teorema $p(z)/q'(z)$ y eso da infinitos residuos diferentes.

Ayuda por favor

Answer 1

Hay un conjunto de polos simples (es decir, de primer orden) en $z=i2\ell \pi/3$ para los enteros $\ell \ne 0$ .

Una forma sencilla de determinar las residencias en los polos $z=i2\ell \pi/3$ para los enteros $\ell\ne 0$ es evaluando el o los límites mediante la regla de L'Hospital

$$\begin{align}\lim_{z\to i2\ell \pi/3} \frac{z(z-i2\ell \pi/3)}{e^{3z}-1}&=\lim_{z\to i2\ell \pi/3}\frac{z+(z-i2\ell \pi/3)}{3e^{3z}}\\\\ &=\frac{i2\ell \pi/3}{3e^{i2\ell \pi}}\\\\ &=i2\pi \ell/9 \end{align}$$

Por lo tanto, el residuo en $z=i2\pi \ell/3$ viene dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\text{Res}\left(\frac{z}{e^{3z}-1}, z=i2\ell \pi/3\right)=i2\pi \ell/9}$$