Sí, el tensor electromagnético $F$ es un funcional que es bilineal y antisimétrico en sus argumentos. Además, esta función está definida puntualmente en una variedad (puede ser $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^4$ ) y también se le llama brevemente 2 formas. Los argumentos son en realidad vectores tangentes (ver más abajo) del espacio tangente del punto considerado (El espacio tangente cambia en cada punto). Si no dependiera del punto de la variedad considerada, sólo sería una forma bilineal, una noción bastante simple del álgebra lineal. Normalmente se evalúa (se aplica el tensor EM) F en los vectores tangentes de una superficie, y finalmente se suman los resultados a lo largo de todos los puntos de la superficie, en ese caso se obtiene una integral bien conocida $\int \bf{B} dA$ (el flujo magnético) o, por ejemplo, si se suma a lo largo de una línea en $\mathbb{R}^3$ : $\int \bf{E} d\bf{r}\cdot d t $ es decir, la noción abstracta de forma bilineal definida puntualmente (brevemente 2 formas) adquiere un sentido bastante intuitivo.
Para que quede aún más claro en la notación que has utilizado se consideraría $e^{\alpha}$ y $e^{\beta}$ como covectores como elementos de los espacios cotangenciales duales a los espacios tangenciales correspondientes (para cada punto de la variedad hay otro). La propiedad covectorial se expresa en las relaciones $e^\alpha(e_\gamma)=\delta^\alpha_\gamma$ , donde $\delta^i_j$ es el símbolo de Kronecker.
En el formalismo de las formas diferenciales se escribirían estos covectores como $e^\alpha = du^\alpha$ ( $\alpha =0,1,2,3$ en el espacio de Minkowski) con $u=(t,x,y,z)$ por ejemplo (son posibles otras definiciones). Entonces todo el tensor EM $F$ se escribiría en el espacio de 4 dimensiones en un punto $u=(t,x,y,z)$ ):
$F(u) = E_x(u) dt \wedge dx + E_y(u) dt \wedge dy + E_z(u) dt \wedge dz + B_x(u) dy \wedge dz + B_y(u) dz \wedge dx + B_z(u) dx \wedge dy$
En esta fórmula el antisimétrico $\wedge$ con el que se utilizó el producto se define como $u \wedge v = \frac{1}{2} (u\otimes v - v\otimes u)$ (No consideraría el producto definido por $\otimes$ como simétrico, al igual que sin ninguna simetría).
Si esta expresión se aplica sobre una superficie plana (para simplificar) en el plano x-y se utilizaría $(e_x, e_y) = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$ son los vectores tangentes del plano x-y. En realidad, en las variedades los vectores tangentes se definen como derivadas direccionales. Una derivada direccional a lo largo del vector x es simplemente la derivada parcial en la dirección x, en breve $\frac{\partial}{\partial x}$ . El caso más general debería ser intuitivamente bastante claro.
Entonces el flujo dado por $F$ a través de un pequeño elemento de superficie $dx dy$ es $F$ aplicado sobre los vectores tangenciales de este elemento de superficie:
$F (u)(e_x, e_y) = F(u)(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) = E_x(u) dt \wedge dx (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) + E_y(u) dt \wedge dy (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})+ E_z(u) dt \wedge dz (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) + B_x(u)dy \wedge dz (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) + B_y(u) dz \wedge dx (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) + B_z(u) dx \wedge dy(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$
Utilizando las propiedades del vector con respecto a los covectores: $ dx (\frac{\partial}{\partial x})=1$ pero $dt (\frac{\partial}{\partial x})=0$ y $dy (\frac{\partial}{\partial x})=0$ y $dz (\frac{\partial}{\partial x})=0$ y $dt (\frac{\partial}{\partial y})=0$ y $dx (\frac{\partial}{\partial y})=0$ y $dy (\frac{\partial}{\partial y})=1$ y $dz (\frac{\partial}{\partial y})=0$ uno finalmente conseguiría: $F_u (e_x, e_y) = B_z(u=(t,x,y,z))$ .
Tenga en cuenta que los componentes de $F$ ya representan componentes de $\bf{E}$ y $\bf{B}$ la evaluación se realiza sobre los vectores tangenciales de una superficie, o sobre los vectores tangenciales de una línea, pero no sobre $\bf{E}$ y $\bf{B}$ es decir $\bf{E}$ y $\bf{B}$ no pueden usarse (no tendría sentido) como argumentos en la 2 forma $F$ como aparentemente se sugiere.
En realidad, si los conceptos en torno a las formas diferenciales parecen demasiado abstractos, puedes seguir imaginando los vectores tangenciales de cada punto de la superficie como pequeñas flechas e imaginar $e^{\alpha}$ y $e^{\beta}$ como vectores del espacio dual, pero tarde o temprano es útil abarcar también el aspecto analítico de $F$ como una forma diferencial que sirve sobre todo para ser integrada. Para simplificar no voy a añadir la fórmula de cómo integrar formas diferenciales, pero se puede encontrar fácilmente en la wikipedia.
