$L^2$ y los espacios de Sobolev

Question

Dejemos que $f \in L^2(\mathbb R)$ sea una función tal que

$$\vert f \vert_{\alpha}:=\sup_{h>0}h^{-\alpha}\Vert f(\bullet+h)-f \Vert_{L^2}< \infty$$

para algunos $\alpha \in (0,1).$

Me gustaría saber si existe $\beta \in (0,1)$ tal que $\vert f \vert_{\alpha}$ satisface para alguna constante $C_{\alpha,\beta}>0$

$$ \vert f \vert_{\alpha} \le C_{\alpha,\beta} \left\lVert \langle \bullet \rangle^{\beta} \widehat{f} \right\Vert_{L^2}$$

para todos $f$ para el que el lado derecho es finito.

donde $\langle x \rangle:=\sqrt{1+\vert x \vert^2}.$

Answer 1

Esto funciona para $\beta\ge\alpha$ . En términos de la transformada de Fourier $g=\widehat{f}$ lo que estás tratando de establecer se convierte en $$ h^{-2\alpha}\int |g(t)|^2 \left| e^{ith}-1\right|^2 \, dt \lesssim \int |g(t)|^2 (1+t^2)^{\beta}\, dt . $$ Podemos ver que esto se cumple considerando por separado $|t|\ge 1/h$ y $|t|<1/h$ en la primera integral. En la primera contribución, estimamos $|e^{ith}-1|\le 2$ y en la segunda, utilice $h^{-\alpha}|e^{ith}-1|\lesssim |t|h^{1-\alpha}\le |t|^{\alpha}$ .