¿Por qué las curvas algebraicas lisas proyectivas sobre los números complejos son compactas y orientables?

Question

¿Por qué las curvas algebraicas proyectivas lisas sobre números complejos son compactas y orientables? Quiero utilizarlo para demostrar que las curvas algebraicas lisas son topológicamente idénticas a los toros con diferentes géneros.

(las curvas algebraicas proyectivas son ceros de un polinomio homogéneo de tres variables con coeficientes complejos en CP2. Llamaremos a una curva algebraica proyectiva suave en el punto p si su gradiente no es cero en el punto p).

Answer 1

1. Demostrar que cada curva algebraica plana suave es cerrada. Enfoque potencial: considerar la restricción del mapa polinómico $\mathbb{C}^3\setminus\{0\} \to \mathbb{C}$ . Componer con el mapa de cociente $\mathbb{C} \to \mathbb{C}/\mathbb{C}^\times$ . Demuestra que esto desciende a $\mathbb{CP}^2$ . Desde $\mathbb{CP}^2$ es compacta, esto implica que cada curva algebraica plana suave es compacta.

2. Demuestre que cada curva algebraica plana suave es una $1$ -de un complejo de dimensiones. Enfoque potencial: trabajar en coordenadas locales en $\mathbb{CP}^2$ para demostrar que cada curva algebraica plana y suave es localmente homeomorfa al conjunto cero en $\mathbb{C}^2$ de un polinomio complejo suave de dos variables. Entonces demuestre que estos conjuntos cero son siempre $1$ -de los complejos.

3. Concluimos que cada curva algebraica plana suave es una compacta $1$ -de un complejo de dimensiones. Toda variedad compleja es orientable como una variedad real (comparemos los jacobianos de los mapas de transición reales y complejos para ver que los jacobianos reales deben tener determinante positivo - en otras palabras, los mapas holomorfos preservan la orientación), así que hemos terminado.