Límite de Cesaro de las funciones analíticas

Question

Dejemos que $f_n$ sea una secuencia uniformemente acotada de funciones analíticas sobre $\Omega\subset\mathbb C$ .

Si $f_n(z)\to f(z)$ para todos $z\in\Omega$ entonces por el teorema de Montel sé que la convergencia es uniforme en conjuntos compactos, por lo tanto $f$ es una función analítica.

Supongamos, en cambio, sólo que $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf_k(z) \to f(z) $$ para todos $z\in\Omega$ . Puedo decir que $f$ ¿es analítico?

Answer 1

Sí, la secuencia $T_n (z) =\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f_j (z)$ es también una secuencia uniformemente acotada de funciones analíticas.