¿Por qué los modos de la perturbación métrica linealizada deben ser "funciones de onda" de los gravitones (en el modelo Randall-Sundrum)?

Question

En "Una alternativa a la compactación" de Randall y Sundrum, discuten la localización de los "modos de gravitones" alrededor de la brana de Planck en el modelo de Randall-Sundrum donde tenemos una quinta dimensión compacta tipo intervalo (un $S^1/\mathbb{Z}_2$ orbifold, para ser precisos) en cuyos dos extremos se asientan dos branas (la de Planck y la de TeV):

Tomando una perturbación métrica linealizada $$ g_{MN} = \eta_{MN} + h_{MN}$$ y la expansión $h_{\mu\nu} = \sum_n h^{(n)}_{\mu\nu}(x)\psi^{(n)}(y)$ donde $x^\mu$ son las coordenadas 4D y $y$ es la quinta dimensión compacta, se deriva una ecuación tipo Schrödinger para los modos $\psi^{(n)}$ (utilizando el formulario de Gabella's "El modelo Randall-Sundrum" ): $$ \left(-\partial_y^2 + \frac{15}{4}\frac{k^2}{(k\lvert y \rvert + 1)^2} - \frac{3k(\delta(y) - \delta(y - L)}{k\lvert y \rvert + 1}\right)\psi^{(n)}(y) = m_n^2 \psi^{(n)}(y)$$ Esto se resuelve para el $\psi^{(n)}$ y se afirma que el $\psi^{(n)}$ son "funciones de onda", mostrando por inspección de la solución que los gravitones están localizados alrededor de la brana de Planck, indicando la debilidad de la gravedad en la brana de TeV.

La pregunta es: ¿Por qué el $\psi^{(n)}$ sea el "funciones de onda" de gravitones?

O bien estamos en una teoría clásica, y hemos demostrado la localización de las perturbaciones métricas clásicas alrededor de la brana de Planck, o estamos en una teoría de campos cuánticos y el $\psi$ debe ser operador-valorado en lugar de "funciones de onda", y sólo deben obedecer a la ecuación de movimiento clásica como ecuación de operador. En este último caso, no me parece evidente que la localización de la solución de la ecuación de movimiento clásica deba implicar la localización de los estados cuánticos pertenecientes al campo.

Answer 1

Se trata de un ligero abuso terminológico, relacionado con el hecho de hablar de "segunda cuantificación". La palabra "función de onda" en este caso se refiere realmente a la "función de onda de una partícula", que resulta corresponder a las soluciones de las ecuaciones de movimiento clásicas (lineales). No se refiere a la "función de onda", es decir, a la representación de Schrodigner de la teoría cuántica de campos completa, que es, por supuesto, un objeto bastante complicado.

Trabajemos con un campo escalar $\phi(x)$ que viven en una geometría fija descrita por $g_{\mu\nu}$ (no es difícil generalizar esta discusión para incluir el giro). Discutiremos la teoría libre, que puede considerarse como el primer paso para establecer un tratamiento perturbativo de una teoría que interactúa.

Para un escalar libre que obedece a la ecuación del operador \begin{equation} \square \phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\partial_\nu \phi\right) = 0, \end{equation} puedes ampliar en modo funciones \begin{equation} \phi(x) = \sum_{n} a_n u_n(x) + a_n^\dagger u_n^{\star}(x), \end{equation} donde $u_n(x)$ son las funciones de modo asociadas al operador de onda, convenientemente normalizadas. Como ejemplo, para el espaciotiempo de Minkowski, podemos sustituir la suma sobre $n$ con una integral $\sum_n \rightarrow \int d^3 p / (2\pi)^3$ y las funciones de modo debidamente normalizadas son $u_n(x)\rightarrow u_p(x) = e^{i p\cdot x}/\sqrt{2 E_p}$ .

Entonces se puede definir un estado propio de posición (al menos formalmente) mediante \begin{equation} |x\rangle = \phi(x) |0\rangle = \sum_n u_n^\star a_n^\dagger |0\rangle = \sum_n u_n^\star |n\rangle. \end{equation}

En una teoría de campo cuántica relativista interactiva, la noción de un estado propio en el espacio de posición de una partícula no está obviamente bien definida porque no se pueden localizar partículas de forma arbitraria y precisa sin tener una probabilidad de crear pares partícula/antipartícula. Pero, a nivel de la teoría libre está bien y si trabajamos perturbativamente y entrecerramos los ojos podemos imaginar que la noción de eigenestado de posición será aproximadamente correcta siempre y cuando tengamos en cuenta que se trata de una idealización y no intentemos calcular cantidades físicas que dependen de que una partícula esté localizada dentro de su longitud de onda compton (o se puede ser más riguroso y definir todo en términos de paquetes de ondas).

Siguiendo con esta sutileza, podemos definir la función de onda del estado de una partícula $|n\rangle$ por su proyección sobre el estado propio de posición \begin{equation} \psi_n(x) \equiv \langle x | n \rangle = u_n(x), \end{equation} donde $|n\rangle = a_n^\dagger |0 \rangle$ (nota que $n$ aquí no es un número de ocupación, es una etiqueta para los modos). Intuitivamente una partícula es un cuanto del modo $n$ que corresponde aproximadamente a una pequeña vibración en un modo clásico determinado del campo, lo que da una idea de dónde es probable que se encuentre esa partícula.

Por lo tanto, existe una relación directa entre el estado propio de la posición de una partícula (la "función de onda") y los modos de las ecuaciones clásicas del movimiento.

Lo que típicamente se quiere en modelos extradimensionales como el Randall-Sundrum es que los estados propios de una partícula estén localizados en las dimensiones extra. Digamos que el espaciotiempo es $4+1$ dimensional, y nuestro universo vive en una brana con 3 dimensiones espaciales que viven en este espacio mayor. La idea es que si un observador en la brana crea un gravitón, ese gravitón debería "parecerse" a un gravitón apropiado para 3+1 dimensiones, lo que a su vez garantizará que las amplitudes de dispersión calculadas por un observador en la brana "se parecerán" a las amplitudes de dispersión para un observador en un espaciotiempo de 3+1 dimensiones. (La definición exacta de "se parece" depende de su configuración y de las restricciones experimentales sobre las dimensiones adicionales). Si no se cumple esta condición, el modelo quedaría descartado, por ejemplo, por las pruebas de la ley del cuadrado inverso. Podemos satisfacer la condición si la función de onda del gravitón (=el modo clásico asociado al operador de onda del gravitón = el estado de 1 gravitón proyectado en la base de posición) está suficientemente localizada en la brana. En ese caso, actuar sobre el vacío (4+1) con un operador de creación de gravitones de una partícula crea un estado que "se parece" al que se obtendría en 3+1 dimensiones actuando con un operador de creación de gravitones.

Answer 2

En física, no es extraño cuantificar un sistema compuesto por etapas: Primero cuantificar algunos de sus componentes y luego pasar al resto. Lo hacemos todo el tiempo, a veces inconscientemente. A veces es sólo una forma de pensar. Tomemos, por ejemplo, el caso más sencillo de la expansión de Kaluza-Klein cuando el espacio interno es $S^1$ : $$g_{\mu\nu}(x, \theta) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} g_{\mu\nu}^{(n)} e^{in\theta}$$ Esta expresión es, por un lado, una expansión en términos de funciones cuadradas integrables en el círculo. Las funciones exponenciales no son más que una base ortonormal de funciones de onda sobre el círculo.
En la teoría de Kaluza-Klein, los campos $$g_{\mu\nu}^{(n)} $$ son gravitones masivos cargados con $n$ unidades de carga. (La carga aparece como la constante de acoplamiento al campo U(1) $A_{\mu})$ . Podemos decir que estos gravitones giran en la quinta dimensión y así es como obtienen su carga, o equivalentemente tienen una función de onda interna $e^{in\theta}$

Esta descripción no se limita a las teorías de Kaluza Klein. Un ejemplo más realista sería la función de onda de una partícula giratoria que solemos escribir como $$\Psi = \psi(x) \otimes \psi_{s, m_s}$$ Donde $x\in \mathcal{M}$ el colector de configuración. Solemos pensar en la función de onda de espín $\psi_{s, m_s}$ como un espinor con un número finito de componentes. Pero también podemos describir la función de onda del espín como una sección de un haz de líneas en la esfera $S^2$ . Así, en este caso podemos pensar en la función de onda total (localmente) como una función $\Psi(x, \theta, \phi) $ de la $\mathcal{M} \otimes S^2$ (más generalmente un $S^2$ haz de la mano sobre $\mathcal{M}$ ). Y en lugar de decir que la función de onda describe una partícula que gira podemos verla como una función de onda de una partícula escalar que se mueve en un espacio interno $S^2$ .

Todo el tema de la expresión del sistema mecánico de esta manera se conoce como geometría sub-riemanniana.