Conceptos de análisis relevantes para la teoría de la probabilidad

Question

Estoy haciendo un curso basado en Durett. Me preguntaba si alguien podría indicarme los conocimientos o temas de análisis más relevantes para la Teoría de la Probabilidad. Ha pasado algún tiempo desde que tomé el análisis real, así que era la esperanza de obtener alguna dirección.

Las posibilidades parecen ser las pruebas delta épsilon, las secuencias (Cauchy), la contabilidad, los límites, las derivadas, las integrales (Riemann).

Actualización: Las respuestas fueron muy buenas y muy útiles. Después de haber hecho el curso, me gustaría añadir sólo algunas de mis ideas para cualquier futuro estudiante.

• Las variables aleatorias son funciones y cosas como la expectativa son sólo integrales sobre estas funciones. Además, cosas como las FDA y las medidas son sólo funciones. De ahí que todos los conceptos relativos a la continuidad y el comportamiento de las funciones sean muy relevantes. En particular, la teoría de la probabilidad acabó centrándose mucho en el comportamiento de estas funciones en sus límites, o en el comportamiento de las secuencias de estas funciones en sus límites. Por lo tanto, el análisis es fundamental para la teoría de la probabilidad, y uno podría aprender prácticamente la teoría de la probabilidad sin ninguna formación en estadística y sólo con una fuerte formación en análisis real (aunque la experiencia en estadística definitivamente "fundamenta" la experiencia del aprendizaje de la probabilidad). Las pruebas relativas al comportamiento de las secuencias de funciones en sus límites fueron fundamentales para la mayoría de los temas famosos (por ejemplo, la ley de los grandes números). Por lo tanto, una sólida base de análisis real es integral para la teoría de la probabilidad, por lo que recomendaría estudiarlo más allá de un curso introductorio (aunque el análisis complejo no se planteó con demasiada frecuencia) antes de tomar la teoría de la probabilidad. Aquí hay un buen vídeo que relaciona los temas de análisis con las integrales de Lebesgue: https://www.youtube.com/watch?v=axEyHyIP5KM , siguiendo a Durett, pero con más ejemplos y explicaciones. Se trata de un tema clave en la teoría de la probabilidad y puede dar una idea de cómo se alimenta el análisis. Tiene algunos otros sobre este tema que muestran algunos conceptos muy relevantes para la teoría de la probabilidad. Además del análisis real, son importantes los conocimientos técnicos de cálculo para poder entender los ejemplos y resolver los problemas.
• La teoría de las medidas, como señala Ben en la respuesta siguiente, también es clave y a veces no se cubre en los cursos de análisis (aunque creo que Rudin la cubre). Ojalá hubiera hecho esta pregunta antes y hubiera encontrado un libro de texto de teoría de la medida más fundamental antes (me he quedado atrás). En mi curso se utilizó Durett, como se ha mencionado anteriormente. Un libro de texto que cubre los temas de la teoría de la medida de forma más exhaustiva es A Probability Path de Resnik, que recomiendo encarecidamente. Proporciona muchos de los conceptos de teoría de la medida que Durett supone que domina. Supongo que la formación en análisis debería dar cierta familiaridad con los conjuntos, pero un buen prerrequisito (si se ofrece) sería un curso de teoría de conjuntos básica. Por ejemplo, es importante ser capaz de discernir fácilmente los límites de las secuencias de conjuntos, estar muy cómodo con cosas como la contención, las leyes de Demorgan, la igualdad de conjuntos, etc. En mi curso de análisis cubrimos rápidamente la teoría de conjuntos, pero nos centramos más en otros aspectos que habrían sido útiles para este curso. Resnik ofrece una buena introducción a este tema; Durett no. Sin embargo, Durett parecía incorporar menos notación nueva que Resnik, y quizás por esa razón (y porque Resnik proporciona más detalles durante las derivaciones), Resnik es bastante largo.
• La topología habría sido útil, como se menciona a continuación, aunque nuestro profesor sólo hizo referencia a ella durante el curso porque no era un prerrequisito requerido. Sin embargo, hay muchas conexiones profundas entre la topología y la teoría de la probabilidad, por lo que creo que saber más sobre topología habría facilitado el curso
• Finalmente, en resumen, si tuviera poco tiempo y necesitara repasar análisis (y tuviera el libro de Abbott), me centraría en tener una buena intuición de los números reales (conceptos básicos sobre densidad, racionales, irracionales), límites de secuencias, subsecuencias, secuencias de funciones, el teorema de convergencia monótona, conjuntos abiertos y cerrados, límites, continuidad, convergencia uniforme, integración de Riemann e integración de Lebesgue. Las clases pueden ser muy complicadas, pero el conocimiento de estos conceptos básicos puede ayudar a mantenerse a flote.

Answer 1

La teoría de la probabilidad se ocupa del análisis de medidas de probabilidad que entran en el campo de la teoría de la medida. Si está estudiando la teoría de la probabilidad a nivel de postgrado, probablemente tendrá que aprender algunos de los fundamentos de la teoría de la medida y aprender el análisis real y la integración como una rama de esto. Este campo generalmente implica algunas definiciones más abstractas de integración que las que se utilizan en el método estándar de integración de Riemann, y esto lleva un tiempo de aprendizaje.

Como sin duda saben, el primer capítulo de Durrett (2013) introduce la teoría de la probabilidad dentro de su propio contexto teórico de la medida, por lo que hace referencia a varias ideas de este campo (por ejemplo, campos sigma, medida de Lebesgue, etc.). Si no ha aprendido ya algo de teoría de la medida, este libro será probablemente una lectura bastante difícil, ya que se mueve rápidamente a través de este material. Si te resulta molesto, te recomiendo que busques algunos libros de introducción a la teoría de la medida, o a la medida y la integración. Este tipo de libros te introducirán en el marco de la teoría de la medida y en las nociones de integración de la teoría de la medida, y esto te dará una buena base para el análisis real y la teoría de la probabilidad.

Answer 2

Necesitarás algo más que la integración riemanniana si realmente quieres adentrarte en la teoría: la integración teórica de la medida es el marco general utilizado para manejar variables aleatorias arbitrarias (continuas, discretas o de otro tipo) de forma unificada. Eso lleva a algunas generalizaciones de los otros conceptos que has mencionado, como la derivada de Radon-Nikodym. Cierta familiaridad con la topología puede ser útil en el sentido de una experiencia previa con algunas de las ideas y técnicas más básicas.