¿Por qué $\forall x\log(x) = 0 \implies 2^\frac{1}{n} - 1 \leq \frac{\epsilon}{n}$ para grandes $n$

Question

¿Por qué $\forall x\log(x) = 0 \implies 2^\frac{1}{n} - 1 \leq \frac{\epsilon}{n}$ para grandes $n$ ? Estoy leyendo un texto de cálculo que utiliza esto en una reductio para demostrar que la función logarítmica no es trivial y no entiendo la implicación. Nota: el texto define $\log(b)$ como la derivada de $\exp_b(x)$ a 0, por lo que no se pueden utilizar otras definiciones en las respuestas.

EDIT: Aquí está la captura de pantalla del libro pdf:

Answer 1

Utilizo la definición de que la derivada de una función diferenciable $f$ en $x \in \mathbb{R} $ es:

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Específicamente esto implica:

$$ \forall \epsilon > 0 \ \ \ \ \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \ \left| \frac{f(x+1/n) - f(x)}{(1/n)} - f'(x) \right| < \epsilon $$

Definir $ \log(b) $ como $ \frac{d}{dx}(b^x) $ evaluado en $x = 0 $ como en su pregunta.

Si $\forall y \in \mathbb{R} \ \ \log(y) = 0 $ entonces ciertamente $\log(2) = 0$ .

Entonces por la definición de límite de la derivada:

$$ \forall \epsilon > 0 \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \ \ \ \ n(2^{1/n} - 1)= \frac{2^{0+1/n} - 2^0}{(1/n)} - \log(2) \le \left| \frac{2^{0+1/n} - \ 2^0}{(1/n)} -\log(2) \right| \le \epsilon $$

y luego dividir por $n$