Método rápido para encontrar $|H \cap \overline{B} \cap \overline{K}|$ a partir de $|H \cap B \cap K|$ ?

Question

Supongamos que los conjuntos $S, H, K, B$ . Sea

$$\begin{align} &|S| = 100 \\ &|H| = 57 \\ &|K| = 77 \\ &|B| = 66 \\ &|H\cap B| = 30 \\ &|H \cap K| = 40 \\ &|B \cap K| = 50 \end{align}$$ .

La pregunta pide encontrar

1. $|H \cap \overline{B} \cap \overline{K}|$
2. $|K \cap \overline{B} \cap \overline{H}|$
3. $|B \cap \overline{H} \cap \overline{K}|$

Por inclusión-exclusión,

$$\begin{align} &|H \cup B \cup K| = |H| + |B| + |K| - (|H \cap B| + |H \cap K| + |B \cap K) + |H \cap B \cap K| \\ &|H \cap B \cap K| =|H \cup B \cup K| - (|H| + |B| + |K|) + (|H \cap B| + |H \cap K| + |B \cap K) \\ \end{align}$$

¿Existe una forma corta de encontrar, por ejemplo, $|H \cap \overline{B} \cap \overline{K}|$ a partir de $|H \cap B \cap K|$ ?

Hice el siguiente trabajo para encontrar $|H \cap \overline{B} \cap \overline{K}|$ pero Estoy buscando una forma más rápida de hacerlo. $$\begin{align} &H = H \cap ((\overline{B} \cap \overline{K}) \cup (B \cup K)) \\ &H = (H \cap (\overline{B} \cap \overline{K})) \cup (H \cap (B \cup K)) \\ & (H \cap (\overline{B} \cap \overline{K})) = H - (H \cap (B \cup K)) \\ & H \cap \overline{B} \cap \overline{K} = H - (H \cap B) \cup (H \cap K) \\ & |H \cap \overline{B} \cap \overline{K}| = |H| - (|(H \cap B)| + |(H \cap K)|) + |H \cap K \cap B| \\ & = 57 - (30 + 40) + 20 = 7 \\ \end{align}$$

Answer 1

Creo que la forma más rápida es dibujar un diagrama de Venn, calcular $|H\cap K\cap B|=20$ y rellena las cardinalidades de las ocho regiones en que se divide el diagrama $S$ . Rápidamente me sale esto:

Ahora puedo leer las respuestas; por ejemplo, $|H\cap\overline{B}\cap\overline{K}|=7$ . (De hecho, los tres son $7$ .)