Cuando una curva es suave en los puntos donde $dy/dx$ no existe?

Question

La curva $y=x^{1/3}$ es suave en todas partes aunque $dy/dx$ no existe en $x=0$ . ¿Por qué?

En general, dondequiera que $dy/dx$ no existe en una curva, ¿cómo puedo demostrar que todavía podría ser suave en esos lugares?

Answer 1

La cuestión aquí es que si tienes una función continuamente diferenciable $f(x,y)$ su conjunto de niveles $f(x,y)=c$ serán curvas suaves siempre que un de $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ es distinto de cero en cada punto de la curva.

Su curva es el gráfico $y=x^{1/3}$ y esto se puede reescribir como el $0$ -Curva de nivel de $f(x,y)=y^3-x$ (este comentario es equivalente a la respuesta de @Pratyush Sarkar). Tenga en cuenta que otro ejemplo de su fenómeno es la curva $f(x,y)=x^2+y^2-1$ . Puede empezar con $y=\sqrt{1-x^2}$ y $dy/dx$ no existe en $x=\pm 1$ y sin embargo el círculo es ciertamente una curva suave; aquí tenemos $\dfrac{\partial f}{\partial x}(\pm1,0) \ne 0$ aunque $\dfrac{\partial f}{\partial y}(\pm1,0) = 0$ . Recordemos que la fórmula de la diferenciación implícita nos dice que $$\text{when } \dfrac{\partial f}{\partial y} \ne 0, \text{ we have } \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}\,.$$

Answer 2

La curva $\gamma_1(x) = (x, x^{\frac{1}{3}})$ se puede reparametrizar como $\gamma_2(y) = (y^3, y)$ . La segunda curva $\gamma_2$ es diferenciable en todas partes con ${\gamma_2}'(y) \neq (0, 0)$ para todos $y$ . Así que la curva es suave.