Diferentes formas de contar el número de formas de colorear un $4\times4$ ¿rejilla con 2 colores?

Question

Estoy tratando de calcular de cuántas maneras hay dos colores a $4\times4$ rejilla con $2$ colores, donde se permite que las baldosas adyacentes tengan el mismo color.

Ahora, cada casilla de la cuadrícula tiene $2$ opciones para colorear y hay 16 casillas por lo que creo que la respuesta debe ser $2^{16}$ . Sin embargo, he probado a calcularlo de otra manera (para utilizarlo en un problema de teoría de grupos) y no obtengo la misma respuesta. Esto es lo que hice:

1. Número de formas de colorear la cuadrícula de manera que todos los cuadrantes sean diferentes:
Cada cuadrante tiene $2^4 = 16$ colorantes y, por lo tanto, tenemos que debe haber $16 \times 15 \times 14 \times 13$ formas de colorear la cuadrícula de esta manera.

2. Número de formas de colorear la cuadrícula de manera que un par (y sólo un par) de cuadrantes adyacentes sean iguales:
Hay $4$ maneras de elegir los pares adyacentes y, una vez que los hemos elegido, tenemos $16 \times 15 \times 14$ formas de colorearlas. Así que me $4(16 \times 15 \times 14)$

3. Número de formas de colorear la cuadrícula de manera que dos pares de cuadrantes adyacentes sean iguales:
Hay $4$ maneras de elegir pares adyacentes (una vez que elegimos un par, los otros dos son automáticamente adyacentes), y, una vez que los hemos elegido, tenemos $16 \times 15$ formas de colorearlas. Así que me $4(16 \times 15)$

4. Número de formas de colorear la cuadrícula de manera que un par (y sólo un par) de cuadrantes diagonales sean iguales:
Hay $2$ formas de elegir los pares de diagonales y, una vez elegidos, tenemos $16 \times 15 \times 14$ formas de colorearlas. Así que me $2(16 \times 15 \times 14)$

5. Número de formas de colorear la cuadrícula de manera que dos pares de cuadrantes diagonales sean iguales:
Hay $2$ maneras de elegir los pares diagonales (una vez que elegimos un par, los otros dos son automáticamente diagonales), y, una vez que los hemos elegido, tenemos $16 \times 15$ formas de colorearlas. Así que me $2(16 \times 15)$

6. Por último, hay $16$ colores tales que los cuatro cuadrantes sean iguales.

Sin embargo, sumando todo esto, no consigo $2^{16}$ . De hecho, estoy fuera por sólo $240 = 16 \times 15$ . Parece que estoy contando mal el número de formas de elegir dos cuadrantes adyacentes o dos cuadrantes diagonales ( $4$ y $5$ arriba).

¿Qué pasa? ¿Qué se me escapa? Gracias por leer mi largo post.

Answer 1

Has contado los casos en los que hay dos pares de cuadrantes que son iguales dos veces. Digamos que eliges colorear los cuadrantes superior izquierdo e inferior derecho de azul sólido y los cuadrantes inferior izquierdo y superior derecho de verde sólido. Cuentas este caso dos veces, una cuando designas los cuadrantes superior izquierdo e inferior derecho como los que pintarás de azul y los otros dos cuadrantes como los que pintarás de verde y otra cuando designas los cuadrantes inferior izquierdo y superior derecho como los que pintarás de verde y los otros dos como los cuadrantes que pintarás de azul.

Tampoco has tenido en cuenta los casos en los que tres cuadrantes son iguales.

Casos:

1. Todos los cuadrantes son diferentes: Como has encontrado, esto se puede hacer en $$16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13$$ diferentes maneras.
2. Exactamente un par de cuadrantes idénticos: Podemos elegir el par en $\binom{4}{2}$ formas y elegir el color para esos cuadrantes en $16$ maneras. Si enumeramos los cuadrantes en el orden superior izquierdo, superior derecho, inferior izquierdo, inferior derecho, hay $15$ formas de pintar el primer cuadrante sin pintar de forma diferente al par y $14$ maneras de pintar el cuadrante restante de forma diferente a ambos pares. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14$$ estos casos.
3. Dos pares diferentes de cuadrantes idénticos: Hay tres maneras de elegir cuál de los otros cuadrantes se pintará de la misma manera que el cuadrante superior izquierdo, $16$ maneras de elegir cómo pintar esos dos cuadrantes, y $15$ formas de elegir el patrón para los otros dos cuadrantes. Por lo tanto, hay $$3 \cdot 16 \cdot 15$$ estos casos.
4. Tres cuadrantes idénticos: Hay $\binom{4}{3}$ maneras de elegir qué tres de los cuadrantes, $16$ maneras de elegir cómo pintar esos tres cuadrantes, y $15$ formas de elegir cómo pintar el cuadrante restante. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{3} \cdot 16 \cdot 15$$ estos casos.
5. Cuatro cuadrantes idénticos: Como has observado, hay $16$ opciones para pintar los cuatro cuadrantes de la misma manera.

Observe que $$16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 + \binom{4}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 + 3 \cdot 16 \cdot 15 + \binom{4}{3} \cdot 16 \cdot 15 + 16 = 2^{16}$$

Answer 2

Aunque no lo he sumado y calculado todo, he aquí algunos defectos que he visto:-

En primer lugar, 240 = 16*15

En segundo lugar, no has incluido el caso en el que 3 de ellos son iguales