Comparación de un factorial y una potencia perfecta

Question

Definamos así las siguientes relaciones de recurrencia $$a_1=6, a_{n+1}=a_n!$$ $$b_1=6, b_{n+1}=6^{b_n}$$

Entonces, ¿cuál de los siguientes es más grande? $a_{b_2}$ o $b_{a_2}$ ?

Para aclarar, estoy tratando de comparar $6^{6^{6^{6^6\dots}}}$ ( $720$ veces) y $(((6!)!)!)!\dots$ ( $46656$ veces)

Aunque intenté utilizar una calculadora para determinar cuál es más grande, los valores eran demasiado grandes para poder calcularlos.

Los valores de los troncos también resultaron difíciles de comparar.

Wolframalpha no ha sido de gran ayuda (véase aquí y aquí!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!)!) )

Normalmente es cierto que $a_n$ es mucho menor que $b_n$ sino porque $b_2$ es mucho mayor que $a_2$ Me resulta difícil de determinar.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $G(1)=6, G(n)=6^{G(n-1)}$ y $F(1)=6, F(n)=(F(n-1))!$ . Usted quiere comparar $G(720)$ con $F(46656)$ . Tenemos $\log G(n)=G(n-1) \log (6)$ Así que $720$ aplicaciones de $\log$ lo hace pequeño. $\log F(n)\approx F(n-1)( \log F(n-1)-1)$ , por lo que se necesita alrededor de $46656$ aplicaciones de $\log$ para hacerlo pequeño. $F(46656) \gg G(720)$ tanto que dividir $F(46656)/G(720)$ no lo hace sensiblemente más pequeño.

Answer 2

Una prueba con palabras (sin matemáticas) sería - obtener $b_{n+1}$ de $b_n$ , se multiplica ' $6$ ' $b_n$ tiempos. para obtener $a_{n+1}$ de $a_n$ , se multiplica el número realmente más alto que $6$ como $n$ aumenta. Así que, yo diría, $a_n$ es mayor que $b_n$ para grandes $n$ .

En cuanto a su pregunta, $a_{b_2}$ es mayor- $a_{b_2}= (6^6 - 1)! = (6^6 - 1)*(6^6 - 2)....(6^6 - 120)*....$ muchos números $b_{a_2}= (6^{6!}) = (6^6)*(6^6)....$$ 120$ veces.

$6^6 - 120 \sim 6^6$ . Así que, sólo por $120$ números en el factorial, se llega muy cerca de $b_{a_2}$ .. Hay muchos más números después de eso. De esto, yo diría, $a_{b_2} > b_{a_2}$