Encuentra el volumen entre la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ y el plano $z = 1$

Question

Supongamos $y \geq 3$. Quiero calcular el volumen entre la esfera $x ^2 + (y 2)^2 + z^2 = 4$ y el plano $y = 3$.

Entonces muevo a la izquierda la esfera y el plano, y los giro en sentido contrario a las manecillas del reloj. Obtengo la nueva esfera y el nuevo plano:

Supongamos $z \geq 1$. Luego calculo el volumen entre $x ^2 + y^2 + z^2 = 4$ y el plano $z = 1$.

Aquí está mi intento usando coordenadas esféricas:

$$\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \int_1^2 \rho^2 \sin \phi dp d \phi d\theta = 2\pi (1- \frac{\sqrt{3}}{2})\frac{1}{3}$$ Se supone que debo obtener $\frac{5 \pi}{3}$. ¿Dónde me equivoqué?

Answer 1

Hay dos errores en tu trabajo. En la intersección de la esfera y el plano,

$z = 2 \cos\phi = 1 \implies \phi = \pi/3$

También el límite inferior de $\rho$ está definido por el plano

$z = \rho\cos\phi = 1 \implies \rho = \sec\phi$

Por lo tanto, la integral debería ser,

$ \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_0^{\pi/3} \int_{\sec\phi}^2 \rho^2 \sin\phi ~ d\rho ~ d\phi ~d\theta = \frac{5\pi}{3}$

También nota que,

$x^2 + (y-2)^2 + z^2 = 4 \implies x^2 + y^2 + z^2 = 4 y$

Entonces usando $x = \rho \cos\theta \sin\phi, z = \rho\sin\theta\sin\phi, y = \rho\cos\phi$, tenemos

$\rho = 4 \cos\phi$

$y = \rho \cos\phi = 3 \implies \rho = 3 \sec\phi$

En la intersección de la esfera y el plano,

$\rho = 4 \cos\phi = 3 \sec\phi \implies \cos\phi = \frac{\sqrt3}{2}$

Entonces, $\phi = \pi/6$

Entonces la integral también se puede escribir como,

$ \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_0^{\pi/6} \int_{3\sec\phi}^{4\cos\phi} \rho^2 \sin\phi ~ d\rho ~ d\phi ~d\theta = \frac{5\pi}{3}$

Answer 2

El intento de OP puede corregirse después de corregir los siguientes dos errores:

• En diferentes valores de $\phi$, el valor de $\rho$ no siempre varía de 1 a 2. Dibujando un diagrama, podemos verificar que en el ángulo $\phi$, el rango de $\rho$ es de $\frac{1}{\cos \phi}$ a 2.
• $\phi$ se supone que varía de 0 a $\pi/3$ (calculado a partir de $\cos^{-1} (\frac{1}{2})$; de nuevo, un diagrama ayudará)

Por lo tanto, la integral correcta a calcular es

$$\int\limits_{0}^{2\pi} d\theta \int\limits_{0}^{\pi/3}\int\limits_{\frac{1}{\cos\phi}}^{2} \rho^2\sin\phi \ d\rho\ d\phi$$ $$ = 2\pi \int\limits_{0}^{\pi/3} \left.\left(\frac{1}{3}\rho^3\sin\phi\right)\right\rvert_{\frac{1}{\cos\phi}}^{2} \ d\phi$$ $$= 2\pi \int\limits_{0}^{\pi/3} \frac{8}{3}\sin\phi-\frac{1}{3}\tan\phi\sec^2\phi\ d\phi$$ $$= 2\pi \left.\left(-\frac{8}{3}\cos\phi-\frac{1}{6}\tan^2\phi\right)\right\rvert_{0}^{\pi/3}$$ $$ = \frac{5\pi}{3}$$