Dejemos que $\xi,\eta,\nu$ sean tres variables aleatorias independientes con soportes contenidos en un intervalo acotado en $\mathbb{R}$ . Supongamos que $\xi$ y $\eta$ son idénticos en el sentido de que $\mathbb{P}_\xi \equiv \mathbb{P}_\eta$ como medidas de impulso en $\mathbb{R}$ (¿Creo que ésta es la definición de variables aleatorias idénticas? Por favor, corrígeme si me equivoco). Además, supongamos que $\xi,\eta$ de primer orden dominan estocásticamente $\nu$ . La definición que tengo aquí es que, para todos $x\in\mathbb{R}$ Tengo $\mathbb{P}(\eta\geq x)\geq \mathbb{P}(\nu\geq x)$ y $\mathbb{P}(\eta\geq x^*)> \mathbb{P}(\nu\geq x^*)$ para algunos $x^*\in\mathbb{R}$ . Del mismo modo, estas afirmaciones son válidas para $\xi$ .
Quiero mostrar lo siguiente: $\mathbb{P}(\eta\geq\xi) > \mathbb{P}(\nu\geq\xi)$ .
Primero intenté mostrar el caso discreto. Aplicando la ley de la probabilidad total, tengo $$\mathbb{P}(\nu\geq\xi) = \sum_{x\in X} \mathbb{P}(\nu\geq\xi\ |\ \xi=x)\mathbb{P}(\xi = x) =\sum_{x\in X} \mathbb{P}(\nu\geq x)\mathbb{P}(\xi = x)$$ donde $X$ es el conjunto de valores sobre los que $\xi$ coloca una probabilidad positiva. Por otro lado, el LHS de la desigualdad es $$\mathbb{P}(\eta\geq\xi) = \sum_{x\in X} \mathbb{P}(\eta\geq\xi\ |\ \xi=x)\mathbb{P}(\xi = x) =\sum_{x\in X} \mathbb{P}(\eta\geq x)\mathbb{P}(\xi = x).$$ Nótese que ambas sumas son convergentes ya que $\mathbb{P}(\nu\geq \xi),\mathbb{P}(\eta\geq\xi)\in [0,1]$ . Entonces, se puede utilizar el hecho de que, para todo $x\in\mathbb{R}$ tenemos $\mathbb{P}(\eta\geq x)\geq \mathbb{P}(\eta\geq x)$ y $\mathbb{P}(\eta\geq x^*)> \mathbb{P}(\eta\geq x^*)$ para algunos $x^*\in\mathbb{R}$ para mostrar la desigualdad deseada.
Ahora trato de demostrar para el caso continuo. La idea es aplicar una "variación" de la ley de la probabilidad total. He encontrado esta fórmula en MSE y lo aplicó aquí. Usando esto, reescribo $$\mathbb{P}(\nu\geq\xi) = \int_\mathbb{R}\mathbb{P}(\nu\geq x)f_\xi(x)\ \mathrm{d}x$$ donde $f_\xi$ es la función de densidad de $\xi$ . Del mismo modo, he $$\mathbb{P}(\eta\geq \xi) = \int_\mathbb{R}\mathbb{P}(\eta\geq x)f_\xi(x)\ \mathrm{d}x.$$ Tenga en cuenta que $\mathbb{P}(\nu\geq x) = 1-F_\nu(x)$ donde $F_\nu$ es la FCD de $\nu$ Así que $\mathbb{P}(\nu\geq x)$ es absolutamente continua con respecto a $x$ . Una afirmación similar es válida para $\mathbb{P}(\eta\geq x)$ . Entonces tengo $$\mathbb{P}(\eta\geq \xi) - \mathbb{P}(\nu\geq \xi) = \int_\mathbb{R} \big[\mathbb{P}(\eta\geq x)-\mathbb{P}(\nu\geq x)\big]f_\xi(x)\ \mathrm{d}x.$$ Sabemos que $\exists x^*$ tal que $\big[\mathbb{P}(\eta\geq x^*)-\mathbb{P}(\nu\geq x^*)\big]>0$ pero estoy luchando por demostrar que $f_\xi(x^*)>0$ para tal $x^*$ también. Si eso se puede hacer, entonces la continuidad del integrando completará naturalmente la prueba. Además, también me preocupa el uso de la "variación" de la ley de probabilidad total aquí.
Por último, quiero mostrar esto para el caso general. He intentado hacerlo escribiendo $$\mathbb{P}(\nu\geq\xi) = \int_\mathbb{R}\mathbb{P}(\nu\geq x)\ \mathrm{d}\mathbb{P}_\xi(x)$$ y de forma similar para $\eta$ : $$\mathbb{P}(\eta\geq\xi) = \int_\mathbb{R}\mathbb{P}(\eta\geq x)\ \mathrm{d}\mathbb{P}_\xi(x).$$ Mi idea es que puedo utilizar la integral de Riemann-Stieltjes, que reflejaría la prueba del caso continuo. Pero tengo problemas para determinar la integrabilidad de $\mathbb{P}(\nu\geq\xi)$ y $\mathbb{P}(\eta\geq x)$ como funciones de $x$ .
