Pregunta de álgebra lineal sobre la matriz definida positiva

Question

Me he encontrado con esta pregunta de álgebra lineal pero no tengo ni idea de cómo abordarla. ¿Puede alguien ayudarme?

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ con todas las entradas fuera de la diagonal iguales a $a$ y todas las entradas diagonales iguales a $1$ . Para qué valor de $a$ ¿es esta matriz definitivamente definida positiva? ¿Para qué valores de $a$ ¿existe una matriz que sea positiva definida?

Answer 1

Otro enfoque es identificar la matriz como una matriz circulante y utilizar el resultado de que las matrices circulantes siempre tienen una eigendecomposición con vectores propios que son las exponenciales complejas y los valores propios son los coeficientes de Fourier (esto corresponde al procesamiento de señales que el filtrado lineal es la multiplicación en el "dominio de Fourier"). Así que puedes transformar de Fourier [1,a,a,a...,a] y ver qué expresiones obtienes para los coeficientes. Si todos son reales, corresponde a un filtro llamado "de fase cero". (Puede ser un poco confuso si no eres un EE, pero por lo demás es realmente emocionante)

Answer 2

Su matriz puede escribirse como $$ \mathbf{M}(a) = (1-a)\mathbf{I} + a\mathbf{1}\mathbf{1}^\top. $$ En concreto tenemos $\mathbf{M}(0)=\mathbf{I}$ que es positiva definida (todos los valores propios son cero). Como $\mathbf{M}(a)$ define un camino continuo de matrices seguirá siendo positiva definida mientras no cruce la frontera del cono positivo definido. Esto ocurre cuando uno de los valores propios se hace cero, lo que a su vez implica que el determinante es cero (es decir $\mathrm{det}(\mathbf{M}(a))=0$ ). Por el lema del determinante de la matriz tenemos \begin{eqnarray} \mathrm{det}(\mathbf{M}(a)) &=& \mathrm{det}((1-a)\mathbf{I} + a\mathbf{1}\mathbf{1}^\top)\\ &=& \mathrm{det}((1-a)\mathbf{I})\left(1+a\mathbf{1}^\top((1-a)\mathbf{I})^{-1}\mathbf{1}\right)\\ &=& (1-a)^n(1+na/(1-a))\\ &=& (a-a)^{n-1}(1+(n-1)a) \end{eqnarray} Tenga en cuenta que $1+(n-1)a=0$ cuando $a=-1/(n-1)$ y $(1-a)=0$ cuando $a=1$ . Por lo tanto, la matriz es positiva definida para todo $-1/(n-1)<a<1$ . No hay otros cruces de cero por lo que, para $a\leq -1/(n-1)$ no será positiva definida. Para $a=1$ el cero tiene orden $n-1$ por lo que hay que investigar más a fondo para saber si es positiva definida para cualquier valor $a>1$ . Mi opinión es que no será positivo definitivo. Además, hay que tener en cuenta que en el caso especial $n=1$ la matriz $M(a)=1$ es independiente de $a$ y positiva definida.

Answer 3

Para calcular el determinante de $A-xI_n$ sumar todas las columnas a la primera y luego restar la primera fila a las demás y luego expandir a lo largo de la primera columna para obtener

$$\det(A)=(1+(n-1)a-x)((n-2)a+1-x)^{n-1}$$ por lo que obtenemos el espectro de $A$ :

$$\operatorname{sp}(A)=\{1+(n-1)a,1+(n-2)a\}$$ por lo que la matriz $A$ es positiva definida si sus valores propios son positivos si $a>-\frac1{n-2}$ para $n>2$ y $a>-1$ para $n=2$ .

Answer 4

Un enfoque es el teorema del círculo de Geshgorin/Hirschhorn: http://en.wikipedia.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem . Entonces vemos que R = |a|(n-1) y el punto medio de todos los círculos es 1. Así que por el teorema, si |a|(n-1) < 1 estamos seguros de que todos los valores propios están en el semiplano derecho y como la matriz es simétrica, todos deben ser reales.