Aciertos en el valor esperado del conjunto

Question

Consideremos la variable que satisface $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac12$ y definir $\tau_k=\inf\{n : |S_n|=k\}$ . Quiero calcular $E[\tau_k]$ .

Pensé que sería bueno para golpear esto con la descomposición wolds : $$E[S_\tau]=E[\tau_k] E[X_1]$$

Pero $S_\tau$ puede ser $k$ o $-k$ con igual probabilidad por lo que $E[S_\tau]=0$ así como $E[X_1]$ . Parece que tengo igualdad $0=0$ que no tiene sentido. ¿Hay alguna forma sencilla de calcular $E[\tau_k] $ ?

Answer 1

¿Por qué no consideras la martingala $( n-S_n^2 ; n \ge 1 )$
Actualización En primer lugar, por cualquier medio posible, puede demostrar que : $$\mathbb{P}( \tau < +\infty) =1$$ (El mío es CLT, pero si puedes encontrar un enfoque mejor para eso, estaré encantado de informarme)
Así que ahora, consideremos la martingala parada $(M_n) := ( n \wedge \tau -S_{n\wedge \tau }^2$ ) Vemos que:

• $\lim_{n \rightarrow +\infty} \tau \wedge n = \tau \text{ a.e}$ (como $\mathbb{P}( \tau <+\infty) =1$ ).
  Así que $\lim_{n \rightarrow+ \infty} \mathbb{E}( \tau\wedge n ) =\mathbb{E}( \tau )$ ( convergencia monótona)
• $\lim_{n \rightarrow +\infty} S^2_{n \wedge \tau } = S^2_{ \tau }=k^2 $ ( también porque $\tau$ es finito a.s).
  Así, $\lim_{n \rightarrow+ \infty} \mathbb{E}( S^2_{\tau\wedge n} ) =k^2$ ( Convergencia dominada)

Además, $M_n$ es una martingala, entonces. $\mathbb{E} (M_n) = M_0=0$ . Así que, $$ 0 = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}(M_n) =\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \mathbb{E}(n\wedge\tau)- \mathbb{E}(S^2_{n\wedge\tau}) \right) =\mathbb{E}(\tau) -k^2$$

Conclusión, $$ \mathbb{E}(\tau) =k^2$$