Qué $\sum |\sin n| / n$ convergen?

Question

¿Cómo puedo comprobar si la siguiente serie converge? $$\sum_{n\geqslant1} \frac{|\sin n|}{n}$$

No se pueden utilizar o diferencial cálculo integral. He intentado usar de Dirichlet y de Cauchy pruebas, pero que no me lleve a nada.

Answer 1

Afirmación: Para cada $k$, $|\sin(3k)|\geqslant\frac12$ o $|\sin(3k+1)|\geqslant\frac12$ o $|\sin(3k+2)|\geqslant\frac12$. Por tanto, la serie diverge.

Sugerencia:

La afirmación anterior se usa la identidad de $\sin\left(\frac\pi6\right)=\frac12$ y la desigualdad $\mathsf{length}\left([-\frac\pi6,\frac\pi6]\right)\lt2$.

$\qquad\qquad\qquad$