Monotonicidad de la función Gamma incompleta

Question

Para un determinado $x \geq 0$ una función $f(a)$ se define como

$f(a) = \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)},$

donde $\Gamma(a, x)$ es la función Gamma superior incompleta. Necesito demostrar $f(a)$ es una función monótona con $a \in [0,1]$ . He intentado calcular la primera derivada de $f(a)$ pero no pude demostrar que esta derivada es no negativa. ¿Podría ayudarme, por favor?

Answer 1

Respuesta parcial. Para $x>0$ , $$ \frac{{\Gamma (a,x)}}{{\Gamma (a)}} = \frac{1}{{\Gamma (a)}}\int_x^{+\infty} {e^{ - t} t^{a - 1} dt} . $$ Para $t\geq x\geq 1$ , $$ a \mapsto t^{a-1} ,\quad a \mapsto \frac{1}{{\Gamma (a)}} $$ son funciones monotónicamente crecientes de $a$ en $[0,1]$ De ahí que $\frac{{\Gamma (a,x)}}{{\Gamma (a)}}$ es monotónicamente creciente en $[0,1]$ para cualquier $x\geq 1$ .