Campo eléctrico en un punto arbitrario debido a un disco cargado uniformemente

Question

Me han planteado la siguiente pregunta:

Considere una losa de espesor $2R$ que se extiende hasta el infinito a lo largo de las otras dos dimensiones. La losa lleva una densidad de carga uniforme $\rho$ con la excepción de una cavidad circular que está tallada en la losa. La cavidad tiene un radio $R$ . El diagrama adjunto ayuda a visualizar esta configuración:

En la primera parte de la pregunta se pregunta:

Encuentra el campo eléctrico en todo el espacio.

¿No es una tarea desesperada? Sí, sé cómo calcular el $E$ campo debido a una losa infinita -- infinita con un espesor finito. También sé cómo calcular el potencial debido a un disco uniformemente cargado en el eje de simetría. ¿Pero no es tener que calcular el campo eléctrico en cualquier punto en el espacio, que en este caso sería una superposición adecuada de los dos casos anteriores, un poco demasiado. Por ejemplo, en relación con el problema de un disco cargado uniformemente, el texto de Purcell y Morin Electricidad y magnetismo lee:

No es tan fácil derivar el potencial de los puntos generales alejados del eje de simetría, porque la integral definida no es tan sencilla. Resulta ser algo llamado integral elíptica. Estas funciones son bien conocidas y tabuladas, pero no tiene sentido perseguir aquí el detalle matemático detalles matemáticos propios de un problema especial. Sin embargo, un cálculo más, que es bastante fácil, puede ser instructivo.

¿Cómo debo solucionar el problema? No hay soluciones, sólo pistas. Me gustaría resolverlo por mi cuenta.

P.SL Hasta ahora no hemos hecho funciones especiales en el curso, así que supongo que nadie espera que las usemos en este problema.

Answer 1

Creo que lo más fácil sería rellenar la cavidad y calcular el campo en un punto. Luego tomar el cilindro por separado y calcular de nuevo el campo en ese punto, y luego restar vectorialmente el campo debido al cilindro del campo debido a la losa.

P.D.: Si se fija O como origen (punto arbitrario en el eje central del cilindro) la respuesta es rho*R/2epsilon nudo . R es mayor que 2R. Para menos de 2R y más de R, se sigue el mismo método

Answer 2

Sólo para poner esto en forma más permanente: sí, la tarea tal y como la has interpretado (razonablemente) es bastante inútil. Esto parece ser una mala redacción de la pregunta por parte de tu instructor.

• La pregunta es

  La losa lleva una densidad de carga uniforme $\rho$ con la excepción de un circular cavidad que se extrae de la losa.

  Su interpretación de este enunciado es razonable y es lo único que cabría esperar de tal enunciado: una losa plana con un recorte cilíndrico, o más concretamente carga que llena el conjunto $$S_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: -d<z<d \text{ and } x^2+y^2>R^2\}.$$

• La forma de resolverlo es interpretar la distribución como una losa sólida superpuesta a un "disco de hockey" circular, $$S_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: -d<z<d \text{ and } x^2+y^2<R^2\},$$ de carga opuesta. Es una tarea imposible calcular el campo de este disco engrosado en cualquier lugar que no sea su eje de simetría, y ciertamente no sin una participación muy significativa de funciones especiales.

• Su profesor comenta entonces que

  La cavidad está delimitada y es esférica.

  Esto no concuerda con el enunciado de la pregunta, pero reduce útilmente el conjunto en cuestión a $$S_3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: -d<z<d \text{ and } x^2+y^2+z^3>R^2\},$$ que puede se resuelve con exactitud (siempre que $R<d$ es decir).

• Para ello, basta con superponer el campo de una losa gruesa (fácil) con el campo de una esfera con carga opuesta (fácil). Será un asunto ligeramente desordenado por partes, pero cada componente es simple.