Estoy tratando de resolver el ejercicio 4 en el primer capítulo de Barr Wells "Teoría de Categorías para Ciencias de la Computación" ver aquí en la página 8.
Reproduzco aquí el texto del ejercicio.
Sea $\mathcal{P}(C)$ el conjunto potencia de un conjunto $C$ y sea $Rel(A,B)=\mathcal{P}(A\times B)$. Sea $\phi: Rel(A,B) \to Hom(A,\mathcal{P}(B))$ definido de la siguiente manera: $$ \phi(r)(a) = \{b \in B : (a,b)\in r\}\,. $$ La primera pregunta es demostrar que $\phi$ es una biyección.
Estoy teniendo problemas para entender cómo esto sería posible.
Si estoy interpretando correctamente la definición de $\phi$, $\phi$ toma una relación $r \in \mathcal{P}(A\times B)$ y proporciona una función $f:A\to \mathcal{P}(B):a\mapsto \bar{b}$. Requerimos que $\phi(r)(a) = \{\bar{b} \in B | (a,\bar{b}) \in r\}$, por lo tanto, me da la impresión de que estamos restringiendo a cierto tipo de funciones en $Hom(A,\mathcal{P}(B))$.
Sin embargo, $Hom(A,\mathcal{P}(B))$ tiene funciones como $f:A\to \mathcal{P}(B):a\mapsto \emptyset$. Por lo tanto, $\phi$ no puede ser sobreyectivo.
Siento que se debería haber definido $\phi(r)(a) = \{\bar{b} \in \mathcal{P}(B) : (a,\bar{b}) \in r\}$.
¿Comentarios/pensamientos? ¿Me estoy perdiendo algo?