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Pregunta sobre el ejercicio en el libro de Barr & Wells.

Estoy tratando de resolver el ejercicio 4 en el primer capítulo de Barr Wells "Teoría de Categorías para Ciencias de la Computación" ver aquí en la página 8.

Reproduzco aquí el texto del ejercicio.

Sea $\mathcal{P}(C)$ el conjunto potencia de un conjunto $C$ y sea $Rel(A,B)=\mathcal{P}(A\times B)$. Sea $\phi: Rel(A,B) \to Hom(A,\mathcal{P}(B))$ definido de la siguiente manera: $$ \phi(r)(a) = \{b \in B : (a,b)\in r\}\,. $$ La primera pregunta es demostrar que $\phi$ es una biyección.

Estoy teniendo problemas para entender cómo esto sería posible.

Si estoy interpretando correctamente la definición de $\phi$, $\phi$ toma una relación $r \in \mathcal{P}(A\times B)$ y proporciona una función $f:A\to \mathcal{P}(B):a\mapsto \bar{b}$. Requerimos que $\phi(r)(a) = \{\bar{b} \in B | (a,\bar{b}) \in r\}$, por lo tanto, me da la impresión de que estamos restringiendo a cierto tipo de funciones en $Hom(A,\mathcal{P}(B))$.

Sin embargo, $Hom(A,\mathcal{P}(B))$ tiene funciones como $f:A\to \mathcal{P}(B):a\mapsto \emptyset$. Por lo tanto, $\phi$ no puede ser sobreyectivo.

Siento que se debería haber definido $\phi(r)(a) = \{\bar{b} \in \mathcal{P}(B) : (a,\bar{b}) \in r\}$.

¿Comentarios/pensamientos? ¿Me estoy perdiendo algo?

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Fabio Lucchini Puntos 1886

Pista: esto es la inversa de $\phi$: \begin{align} &\operatorname{Hom}(A,\mathcal{P}(B))\to\operatorname{Rel}(A,B)& &f\mapsto\bigcup_{a\in A}(\{a\}\times f(a)) \end{align} En particular, nota que $\phi(\varnothing)(a)=\varnothing$ para cada $a\in A$.

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Gracias Fabio. Sí, es cierto, el conjunto $\phi$ puede estar vacío.

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