¿Es irreducible un polinomio con 1 coeficiente muy grande?

Question

Pido algún tipo de generalización del criterio de Perron que no dependa del índice del coeficiente "grande". (el criterio dice que para un polinomio $x^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_kx^k\in \mathbb{Z}[x]$ si la condición $|a_{n-1}|>1+|a_0|+\cdots+|a_{n-2}|$ y $a_0\neq 0$ se mantiene entonces es irreducible).

Esto respondería a una segunda pregunta sobre la existencia de n+1-tuplas $(a_0,\dots,a_n)$ de enteros para los que $\sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)}x^k$ es siempre irreducible para cualquier permutación $\sigma$ . ¿Qué pasa si restringimos $|a_i| \le O(n)$ ? $ |a_i| \le O(\log n)$ ?

Answer 1

Pensando en lo que significa esencialmente el criterio de Perron, no esperaría realmente que algo similar se mantuviera para otros coeficientes. Básicamente, si el valor absoluto del coeficiente k-ésimo es mayor que la suma de los valores absolutos de otros coeficientes, es fácil demostrar que k ceros del polinomio están estrictamente dentro del círculo unitario, y $(n-k)$ --- estrictamente fuera de ella (por el teorema de Rouche). Por lo tanto, las contradicciones fáciles son de esperar sólo para $k=n-1$ (y $k=1$ si invertimos $x$ ). Otras dos observaciones que apoyan este comentario: los polinomios $x^n-N^n$ sugieren que no hay que esperar nada para el término constante, y los polinomios $(x^2-Nx+1)(x^2+Nx+1)=x^4+(2-N^2)x^2+1$ demostrar que $k=2$ (o $n-2$ ) no funcionaría...

En cuanto a la segunda pregunta, parece bastante probable que tales ejemplos existan, incluso con límites bastante restrictivos en los coeficientes.

Answer 2

A su segunda pregunta:

Tomando n+1 primos diferentes $p_0, p_1, \dots, p_n$ puede definir $a_i := \prod_{j \ne i} p_j$ . Por un teorema de Eisenstein ("criterio de irreducibilidad de Eisenstein"), se obtiene que cualquier permutación produce un polinomio irreducible.

Answer 3

Quizás esto debería haber ido en los comentarios, pero no pude ver el botón.

En cualquier caso, me pregunto qué espera que sea verdad. Hay algunos ejemplos "malos" evidentes (por ejemplo $10^{20} x^{2} - 1$ o $x^{2} - 10^{20}$ o $x^{2} - 2 10^{10} x + 10^{20}$ ), es decir, algunos coeficientes pueden ser arbitrariamente mayores que (cualquier función de) los otros, mientras que el polinomio sigue siendo reducible. Esto no es terrible (no se me ocurren ejemplos así para todos los coeficientes y todos los grados), pero ciertamente significa que no se puede obtener una condición que sólo implica el mayor coeficiente, sin tener en cuenta el espaciado.

También hay algunos ejemplos "bonitos". En el mismo trabajo en el que demuestra el criterio que mencionas arriba, Perron también demuestra que un polinomio es irreducible si $a_{n-2}$ es suficientemente mayor que el resto.

El artículo "irreducibilidad de los polinomios" de Dorwart (de la revista mensual de 1935) apareció en una búsqueda rápida en Google, y puede valer la pena verlo.

Para la última pregunta, jugando con los distintos criterios de divisibilidad (y con Maple) parece que se obtienen muchísimos ejemplos para un grado moderado, pero mi álgebra no es lo suficientemente fuerte como para convertirlo en un teorema. Por supuesto, si sólo estás interesado en infinitos n (no todos los n, ya que esto sólo funciona para que n sea un primo - 1), los polinomios ciclotómicos parecen buenos ejemplos, ¡con todos los coeficientes 1! ¿Hay alguna razón por la que creas que una restricción en el tamaño de los coeficientes serviría de algo?

Answer 4

Bien, sobre tu segunda pregunta. Consideremos el polinomio $x^n+2(x^{n-1}+\ldots+x^2+x)+4$ . Afirmo que este polinomio es casi bueno para sus propósitos: si permutamos todos los coeficientes excepto el principal, sigue siendo irreducible. Prueba: si el término constante se convierte en 2 después de la permutación, usa Eisenstein, si no, mira el polígono de Newton de este polinomio mod 2 - puedes observar que si es irreducible, tiene que tener un factor lineal, lo que es fácilmente imposible.

[Si permitimos permutar todos los coeficientes, esperaría que algo como $9x^n+6(x^{n-1}+\ldots+x^2+x)+4$ funcionaría casi por las mismas razones...]