¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba de la razón de verosimilitud para una determinada distribución de Poisson?

Question

En las últimas semanas, el número medio de pólizas de seguro de vida vendidas por semana fue de $ = 3$ . Sin embargo, esta semana ha vendido 6 pólizas de seguro de vida. Basándose en esta única observación de $x = 6$ ¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba de razón de verosimilitud para probar la hipótesis de que el vendedor ha visto de repente un aumento en su trabajo, es decir probando $H_0 = \theta = 3$ , $H_1 = \theta > 3$ .

Para ello, he utilizado la razón de verosimilitud para la distribución de Poisson, lo que me da $$\frac{\frac{3^6e^{-3}}{6!}}{\frac{6^6e^{-6}}{6!}}$$ Esto da 0,3138365. ¿Es esta la respuesta correcta?

Answer 1

Usted querrá rechazar $H_0: \theta = 3$ contra $H_a: \theta > 3)$ para grandes valores de su única observación $X.$ No se puede probar exactamente al nivel del 5% debido a la discreción de la distribución de Poisson.

En $H_0,$ tienes $P(X \ge 7) = .0335,$ pero $P(X \ge 6) = .0834.$ Cálculos exactos de Poisson a partir de R (donde ppois es una FCD de Poisson y qpois es la función cuantílica):

qpois(.95, 3)
[1] 6
1 - ppois(6,3)
[1] 0.03350854  # 1 - P(X <= 6) = P(X >= 7)
1 - ppois(5,3)
[1] 0.08391794

Así que para la prueba en el nivel $\alpha =3.335,$ debe rechazar si $X \ge 7.$ Porque usted observa $X = 6,$ el valor P es $P(X \ge 6\,|\,\theta = 3) = 0.834.$

En la trama de abajo, $\alpha$ es la suma de las alturas de las barras a la derecha de la línea vertical de puntos.

Para valores tan pequeños de $\theta,$ dependiendo de la precisión deseada, puede no ser aconsejable utilizar una aproximación normal. La curva normal que mejor se ajusta se muestra en azul.

Sin embargo, utilizando la aproximación normal (con corrección de continuidad), el valor P es 7,4%, por lo que no se rechazaría al nivel del 5%.

1 - pnorm(5.5, 3, sqrt(3))
[1] 0.07445734

Adenda: Ahora que tienes la función de razón de verosimilitud correcta $\lambda(x) = (3/x)^xe^{x-3}$ para $x \ge 3 \; (1$ para $x < 3),$ utilicemos R para trazarlo. Entonces podemos ver que $\lambda(x)$ es pequeño (lo que lleva al rechazo) para valores grandes de $x$ como se mencionó al principio.

x = 3:10;  like = (3/x)^x*exp(x - 3)
plot(x, like, pch=20, main="Likelihood Ratio")
abline(h = 0, col="green2")