Encontrando $\int \ln (\cos x) \sin^{-2} x \, dx$

Question

Necesito encontrar $\int \ln(\cos x) \sin^{-2} x \, dx$ .

Integré por partes ( $\ln (\cos x) = u$ y $\sin x\,dx = dv$ ) y obtuvo $-(\cos x) \ln(\cos x)+\cos x+c$ . ¿Es eso correcto?

Sólo necesito saber si la solución es correcta.

Answer 1

No es correcto ya que

$$\int\frac{\ln (\cos x)}{\sin^2x}dx$$

$$=\ln (\cos x)\cdot\int\csc^2xdx-\int\left(\frac{d\ \ln (\cos x)}{dx}\cdot\int\csc^2xdx\right)dx$$

$$=\ln (\cos x)\cdot(-\cot x)-\int\left(\frac{-\sin x}{\cos x }\cdot(-\cot x)\right)dx$$

$$=\ln (\cos x)\cdot(-\cot x)-\int dx=\cdots$$

Answer 2

Si quieres usar la integración por partes deja que dv = sin^-2(x) dx y u = ln(cosx)

Observa que la integral de sen^-2(x) es -cot(x) por lo tanto v = -cot(x). y u' = -tan.

¿Puedes terminarlo desde ahí?