Intuitivamente se podría intentar demostrar una ecuación dibujando cuatro conjuntos en forma de diagrama de Venn -- digamos $A_1, A_2, A_3, A_4$ y observando las intersecciones entre los círculos. Se quiere encontrar la cardinalidad de la unión. Ahora, te darás cuenta de que si sólo intentas sumar los cuatro conjuntos, habrá elementos repetidos. Hay que restar los elementos de las intersecciones. Pero después de restar, puede que descubras que necesitas volver a añadir algunos elementos. Rápidamente, te darás cuenta de que esto es difícil de generalizar, pero verás un patrón: alternas los signos con respecto a los conjuntos de intersección.
En definitiva, una buena manera de demostrar la PIE para $n$ conjuntos es considerar el teorema del binomio. La ecuación final es algo así como la suma de cardinalidades de todos los conjuntos de 1 (es decir $|A_1| + |A_2| + |A_3| + \ldots + |A_n|$ ) - intersecciones de todos los conjuntos de 2 + intersecciones de todos los conjuntos de 3 - ... $\pm$ intersecciones de $n$ -sets. Obsérvese que cada elemento está en la intersección de $j$ conjuntos. Al sumar toda la suma anterior, observe que el elemento se suma en $S = \dbinom{j}{1} - \dbinom{j}{2} + \ldots \pm \dbinom{j}{n}$ tiempos. Queremos mostrar $S = 1$ . Nótese la identidad binomial, ${(-1+1)}^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} (-1)^k (1)^{(n-k)} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} (-1)^k$ y observe que esta suma es equivalente a $1-S$ . ${(-1+1)}^n = 0^n = 0$ y $1-S = 0$ , dando lugar a $S=1$ , según se desee, para cada elemento. Es decir, cada elemento se cuenta exactamente una vez.
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¿Sabe usted lo que es PIE para 3 juegos? Si es así, ¿cuál crees que es la ecuación de 4 sets? Una vez que tengas la ecuación correcta, es bastante fácil demostrarla, especialmente si conoces una buena prueba del caso de 2 conjuntos.