$\eta(1) = \ln(2)$ prueba utilizando el Teorema de Abel

Question

Hola, me preguntaba cómo se justifica $\eta(1) = \ln(2)$ . Observando la serie de potencias para $\ln(1+x)$ tenemos

\begin{equation} \ln(1+x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n} \end{equation}

Esta ampliación sólo es válida para $|x| <1$ . ¿Podemos utilizar aquí el teorema de Abels? ¿Cómo lo haría?

Answer 1

Por la prueba de la serie alterna, podemos ver que la suma converge y

$$\frac12<\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}n<1$$

Por el teorema de Abel,

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}n=\lim_{x\to1^-}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^n}n=\lim_{x\to1^-}\ln(1+x)=\ln(2)$$