Cómo demostrar que la solución fundamental de la ecuación de Laplace $\in L^2 $ dado $ f \in L^2 $ ?

Question

Necesito ayuda con esta pregunta de los deberes.

La pregunta es :

Dejemos que $f:R^3\to R$ y $f\in L^2(R^3)$ . $f$ se apoya en una bola de radio 1/2 centrada en el origen. Sea $u$ sea la solución de $\Delta u=f$ , donde $ u $ viene dada por $u(x)= \frac{1}{4\pi}\int_{R^3}\frac{1}{|x-y|}f(y)\,dy$ .

1. Demuestra que $L^2$ de u en la bola unitaria de radio 1, centrada en el origen, está limitada por C $||f||_{L^2}$ donde C es una constante independiente de f.
2. Demostrar que $u$ es $C^\infty$ fuera de la bola unitaria centrada en el origen.
3. Supongamos que $\int_{R^3}f(y)dy = 0$ , mostrar $u\in L^2(R^3)$ . (Considera que es una buena aproximación sustituir $\frac{1}{|x-y|}$ por $\frac{1}{|x|}$ para $|x|$ grande.

Answer 1

La integrabilidad de $u$ es una consecuencia del siguiente lema. Aparece en Jost, Ecuaciones diferenciales parciales .

Lema. Para $\mu \in (0,1]$ y $f \in L^1(\Omega)$ , $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ , poned $$ (V_\mu f)(x)=\int_\Omega |x-y|^{d(\mu-1)} f(y)\, dy. $$ Dejemos que $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , $$ 0 \leq \delta = \frac{1}{p}-\frac{1}{q} < \mu. $$ El $V_\mu$ mapas continuamente $L^p(\Omega)$ en $L^q(\Omega)$ y $$ \|V_\mu f\|_q \leq \left( \frac{1-\delta}{\mu-\delta}\right)^{1-\delta} \omega_d^{1-\mu} |\Omega|^{\mu-\delta} \|f\|_p. $$ Aquí $\omega_d$ es el volumen de la bola unitaria de $\mathbb{R}^d$ y $|\Omega|$ es la medida de Lebesgue de $\Omega$ .

La prueba de este lema es una aplicación repetida de la desigualdad de Hoelder. Por último, sospecho que 3. requiere una estimación del decaimiento de $u$ en el infinito. Probablemente quieras escribir $$\frac{1}{|x-y|} = \frac{1}{|x-y|}-\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|}. $$ Por lo tanto, $$\int \frac{f(y)}{|x-y|}dy = \int \frac{f(y)}{|x|}dy + \int f(y) \left( \frac{1}{|x-y|}-\frac{1}{|x|} \right) dy. $$ La primera integral es cero porque $\int f(y)dy=0$ . Ahora hay que estimar la segunda integral cuando $|x|$ es grande.