Tengo la siguiente exapansión de la serie de Fourier: \begin{equation} \phi(t) = a_0 + \Sigma_{n=1}^\infty (a_n\cos pnt + b_n\sin pnt). \end{equation} Quiero expresar $\cos(\phi(t))$ como serie de Fourier de nuevo. Más precisamente, quiero encontrar analíticamente los coeficientes $\left\{c_n \right\}_{n=0}^\infty$ y $\left\{d_n \right\}_{n=1}^\infty$ que satisfacen lo siguiente: \begin{equation} \cos(\phi(t)) = c_0 + \Sigma_{n=1}^\infty (c_n\cos pnt + d_n\sin pnt). \end{equation} ¿Hay alguna forma de hacerlo, quizás por ejemplo utilizando algunas funciones especiales como la de Bessel?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos utilizar las funciones de Bessel generalizadas con un número infinito de variables, (véase por ejemplo aquí ). Estas funciones están definidas por \begin{equation} J_n\left( \left\lbrace \alpha_m\right\rbrace \right)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos\left(n\theta-\sum_{m=1}^\infty \alpha_m\sin m\theta \right)\,d\theta \end{equation} donde $\left\lbrace \alpha_m\right\rbrace $ son coeficientes reales tales que la serie $\sum_{m}m\left|\alpha_m\right|$ es convergente. Verifican una expansión tipo Anger-Jacobi \begin{equation} \exp\left(i\sum_{m=1}^\infty\alpha_m\sin m\theta \right)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{in\theta}J_n\left( \left\lbrace \alpha_m\right\rbrace \right) \end{equation} Entonces, se puede obtener el resultado deseado para una expansión del seno de Fourier. Del mismo modo, para un coseno de Fourier, \begin{align} I_n\left( \left\lbrace \alpha_m\right\rbrace \right)&=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos\left(n\theta-\sum_{m=1}^\infty \alpha_m\cos m\theta \right)\,d\theta\\ \exp\left(i\sum_{m=1}^\infty\alpha_m\cos m\theta \right)=&\sum_{n=-\infty}^\infty e^{in\theta}I_n\left( \left\lbrace \alpha_m\right\rbrace \right) \end{align} Se dedujeron muchas propiedades de estas funciones de Bessel de variable infinita y también se dieron métodos de cálculo (véanse los trabajos de Lorenzutta, Dattoli...).
