No correlación cero implica la dependencia?

Question

Sabemos que el hecho de que la correlación cero no implica la independencia. Estoy interesado en saber si una correlación no nula implica dependencia, es decir si $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ para algunas variables aleatorias $X$$Y$, podemos decir en general que $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$?

Answer 1

Sí, porque

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0 $$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

lo que sería imposible si $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0$. Así

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Pregunta: ¿qué sucede con las variables aleatorias que no tienen densidades?

Answer 2

Deje $X$ $Y$ denotar variables aleatorias tales que $E[X^2]$ $E[Y^2]$ son finitos. Entonces, $E[XY]$, $E[X]$ y $E[Y]$ todos son finitos.

Restringir nuestra atención a este tipo de variables aleatorias, vamos $A$ denotar la declaración de que $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias y $B$ la declaración de que $X$ $Y$ están correlacionadas las variables aleatorias, es decir, $E[XY] = E[X]E[Y]$. Entonces sabemos que el $A$ implica $B$, es decir, independiente de las variables aleatorias están correlacionadas las variables aleatorias. De hecho, una definición de variables aleatorias independientes es que $E[g(X)h(Y)]$ es igual a $E[g(X)]E[h(Y)]$ para todas las funciones medibles $g(\cdot)$ y $h(\cdot)$). Este es generalmente se expresa como $$A \Rightarrow B.$$ Pero $A \Rightarrow B$ es lógicamente equivalente a $\neg B \Rightarrow \neg A$, es decir,

se correlacionaron las variables aleatorias son dependientes de variables aleatorias.

Si $E[XY]$, $E[X]$ o $E[Y]$ no son limitados o no existen, entonces no es posible decir si $X$ $Y$ están correlacionadas o no en el sentido clásico de correlación variables al azar, siendo los para que $E[XY] = E[X]E[Y]$. Por ejemplo, $X$ $Y$ podría ser independiente de Cauchy variables aleatorias (por que la media no existe). Están correlacionadas las variables aleatorias en el sentido clásico?