Dejemos que $A$ sea una matriz cuadrada, demuestre que $ker(A)$ es un subconjunto de $ker(A^2)$ y $ker (A^2)$ es un subconjunto de $ker(A^3)$

Question

Sé que el núcleo de un vector L : V W entre dos espacios vectoriales V y W, es el conjunto de todos los elementos v de V para los que L(v) = 0. A partir de aquí no tengo ni idea de qué hacer.

Answer 1

Una pista: si $v\in\ker A$ , entonces eso significa que $Av = 0$ como usted señala. Quiere demostrar que si $v\in\ker A$ es decir $Av = 0$ entonces $A^2 v = 0$ o de forma equivalente $A(Av) = 0$ . ¿Ves cómo proceder?

Por cierto, en tu título quieres decir "es un subconjunto de", no "es un elemento de".

Answer 2

Si $A$ es la matriz de la transformación lineal $L$ entonces $A^2$ es la matriz de la transformación lineal $L\circ L$ .

Entonces $L(L(v))=L^(v)$

Así que $L^(v)=L(0)=0$

Del mismo modo, proceda con $A^3$

Answer 3

La declaración

$\ker(A)$ es un subconjunto de $\ker(A^2)$

significa

si $\def\v{{\bf v}}\v$ está en $\ker(A)$ entonces $\v$ está en $\ker(A^2)$ ,

es decir,

si $A\v={\bf0}$ entonces $A^2\v={\bf0}$ .

Suponiendo que $A\v={\bf0}$ ¿Puede explicar por qué? $A^2\v={\bf0}$ ?

Answer 4

De forma más general, sólo hay que demostrar que $\ker(B)\subseteq \ker(AB)$ . Esto se deduce casi directamente de la definición de $\ker$ .