El problema: $$\frac{\mathrm d^{99}}{\mathrm dx^{99}}Arsh(x)$$ Sin: Taylor
Mi intento: $$y=Arsh(x)$$ $$y'=\frac{1}{1+x^2}=(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}=t$$ $$y''=\frac{-x}{(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}}=\frac{-x*t}{(1+x^2)}$$ $$-x*y'=y''*(1+x^2)$$ Y si uso la regla general de Leibniz en eso con n=98 pero no puedo obtener sólo la 100ª derivada de y(x).
Respuestas
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Bernard
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La respuesta está en el Ampliación de Taylor de $\DeclareMathOperator\ash{Argsh}\ash x$ : $$\ash x=x-\frac12\frac{x^3}3+\frac{1\cdot 3}{2\cdot4}\frac{x^5}{5}-\dots+(-1)^n\frac{1\cdot 3\dotsm (2n-1)}{2\cdot4\dotsm 2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\dotsm$$ Si se compara con la fórmula general de Taylor, se obtiene inmediatamente $$f^{(n)}(0)=(-1)^n\bigl(1\cdot 3\dotsm (2n-1)\bigr)^2.$$
Farkhod Gaziev
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6
SUGERENCIA:
$$\dfrac{2i}{x^2+1}=\dfrac{x+i-(x-i)}{(x+i)(x-i)}=\dfrac1{x-i}-\dfrac1{x+i}$$
Utilizando este $r$ derivada de $(x+a)^{-1}$ será $$(-1)^r\dfrac{r!}{(x+a)^{r+1}}$$
Por último, elija $x=R\cos\phi,1=R\sin\phi$ donde $R,\phi$ son reales y utilizar el Teorema de De Moivre
Aquí $r=99$
