¿Cuántas líneas tangentes a la gráfica de $f$ son paralelas a la línea

Question

Me encuentro con este problema:

¿Cuántas líneas tangentes a la gráfica de $f(x)=x^3+3x$ son paralelas a la línea $y=6x+1$ ?

Lo que he hecho es esto:

Como estamos buscando líneas paralelas a $y=6x+1$ entonces obviamente estamos buscando líneas de la forma $y=6x+b$ por lo que la verdadera cuestión es encontrar los valores de $b$ que cumplan las condiciones.

Como las líneas son tangentes a $f$ necesitamos la derivada de $f$ Es decir $f'(x)=3x^2+3$ .

Dado que la derivada de $f$ representa la pendiente de la línea tangente a $f$ necesitamos $f'(x)=3x^2+3=6$ y obtenemos las soluciones $x=1$ y $x=-1$ .

Y aquí es donde estoy atascado. Hay una visión que no estoy teniendo, supongo.

*Editar

Hay una pregunta de seguimiento que me pide que produzca las ecuaciones de esas dos líneas. No quise compartirla porque soy consciente de que hay gente que abusa del MSE para sus tareas. Esta pregunta fue creada por el departamento de matemáticas de mi universidad y la respuesta oficial es $$y = 6x + 2$$ y $$y = 6x - 2$$

Le pregunté a mi tutor, y llegó a las respuestas oficiales de esta manera:

$$x³ + 3x = 6x + b => x³ - 3x = b$$

A continuación, se conecta el $+/- 1$ encontrado antes para conseguir $b = +/-2$ y finalmente llegar a la respuesta oficial para las ecuaciones de las líneas:

$$y = 6x +/- 2$$

Answer 1

Nota: La pregunta sólo pide cuántos así que la respuesta es inmediatamente dos. Para las ecuaciones reales de las tangentes:

La derivada es $$3x^2+3=6\implies x=\pm1$$ Por lo tanto, los puntos son $(-1,-4),(1,4)$ - sustituir en $y=x^3+2x$ .

Consideremos el primer punto. Para una línea tangente paralela a $y=6x+1$ la pendiente debe ser $6$ . Así que tenemos que $$y=mx+c\implies-4=6(-1)+c\implies c=2\implies \boxed{y=6x+2}$$

¿Puedes hacer el otro?

Answer 2

Ya has resuelto el problema: hay dos líneas tangentes de este tipo. La función se comporta bien y tiene una tangente en cada punto, y has determinado que hay dos puntos en los que la derivada tiene el valor correcto. No hay necesidad de ir más allá, a menos que haya una pregunta de seguimiento que te pida que produzcas las ecuaciones de esas rectas.

Answer 3

Gráfico de la función original y de la ecuación de las rectas tangentes a f con pendiente = 6