Utilizando $\aleph_0$ -categoricidad en la prueba de integridad de DLO

Question

Estoy tratando de demostrar que $K_2$ el conjunto densamente ordenado sin un elemento más pequeño o más grande es completo.

Ahora he llegado al paso en el que quiero demostrar que es imposible que cualquier wf $B$ que ambos $$\nvdash _{K_2} B \mbox{ and } \nvdash_{K_2} \lnot B$$ Para demostrarlo, asumo que ni $\nvdash _{K_2} B \mbox{ and } \nvdash_{K_2} \lnot B$ . Entonces sé que $K_2 \cup \{B\}$ y $K_2 \cup \{\lnot B\}$ son ambos consistentes. Así que sabemos (por Skolem-Lowenheim) que existen modelos denumerables $M_1$ y $M_2$ tal que $\models_{M_1} B$ y $\models_{M_2} \lnot B$ .

Sé que $K_2$ es $\aleph_0$ -categórico. Así que $K_2$ tiene al menos un modelo normal de cardinalidad $\aleph_0$ (de hecho, este modelo puede ser denotado por los números racionales), y dos modelos normales cualesquiera de $K_2$ con cardinalidad $\aleph_0$ son isomorfas.

Ahora viene la parte en la que me atasco: Quiero demostrar que $M_1$ y $M_2$ son isomorfas, por la $\aleph_0$ -categoría de $K_2$ (para obtener una contradicción). Pero $M_1$ y $M_2$ son modelos para diferentes teorías ( $K_2 \cup \{B\}$ y $K_2 \cup \{\lnot B\}$ ), y no son modelos para $K_2$ . ¿O no lo son? ¿Cuál es la forma correcta de proceder?

Answer 1

Recuerde que si $\Delta\subseteq \Gamma$ entonces todo modelo de $\Gamma$ también es un modelo de $\Delta$ . Por ejemplo, tanto $S_{17}$ y $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ son modelos de la teoría de grupos, aunque el primero satisface " $\exists x, y(x*y\not=y*x)$ " y el segundo no.

En su caso, ambos $M_0$ y $M_1$ son modelos de $K_2$ (nótese que su primera frase comete un pequeño error, al dar a entender que $K_2$ es un estructura en lugar de una teoría). En particular, dado que cada uno de ellos es contable y $K_2$ es $\aleph_0$ -categórica, tenemos $M_0\cong M_1$ . El hecho de que $M_0$ y $M_1$ no están de acuerdo con alguna frase en el exterior de $K_2$ (A saber, $B$ ) no afecta al hecho de que cada uno de ellos sea un modelo de $K_2$ .