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Utilizando 0 -categoricidad en la prueba de integridad de DLO

Estoy tratando de demostrar que K2 el conjunto densamente ordenado sin un elemento más pequeño o más grande es completo.

Ahora he llegado al paso en el que quiero demostrar que es imposible que cualquier wf B que ambos Para demostrarlo, asumo que ni \nvdash _{K_2} B \mbox{ and } \nvdash_{K_2} \lnot B . Entonces sé que K_2 \cup \{B\} y K_2 \cup \{\lnot B\} son ambos consistentes. Así que sabemos (por Skolem-Lowenheim) que existen modelos denumerables M_1 y M_2 tal que \models_{M_1} B y \models_{M_2} \lnot B .

Sé que K_2 es \aleph_0 -categórico. Así que K_2 tiene al menos un modelo normal de cardinalidad \aleph_0 (de hecho, este modelo puede ser denotado por los números racionales), y dos modelos normales cualesquiera de K_2 con cardinalidad \aleph_0 son isomorfas.

Ahora viene la parte en la que me atasco: Quiero demostrar que M_1 y M_2 son isomorfas, por la \aleph_0 -categoría de K_2 (para obtener una contradicción). Pero M_1 y M_2 son modelos para diferentes teorías ( K_2 \cup \{B\} y K_2 \cup \{\lnot B\} ), y no son modelos para K_2 . ¿O no lo son? ¿Cuál es la forma correcta de proceder?

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ManuelSchneid3r Puntos 116

Recuerde que si \Delta\subseteq \Gamma entonces todo modelo de \Gamma también es un modelo de \Delta . Por ejemplo, tanto S_{17} y \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} son modelos de la teoría de grupos, aunque el primero satisface " \exists x, y(x*y\not=y*x) " y el segundo no.

En su caso, ambos M_0 y M_1 son modelos de K_2 (nótese que su primera frase comete un pequeño error, al dar a entender que K_2 es un estructura en lugar de una teoría). En particular, dado que cada uno de ellos es contable y K_2 es \aleph_0 -categórica, tenemos M_0\cong M_1 . El hecho de que M_0 y M_1 no están de acuerdo con alguna frase en el exterior de K_2 (A saber, B ) no afecta al hecho de que cada uno de ellos sea un modelo de K_2 .

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