No podrá decir qué efecto es mayor simplemente mirando los valores p.
No has dicho cuántas personas de cada sexo había en cada grupo, pero vamos a suponer que están divididos por igual por ahora.
Que el resultado sea $y=0$ por no estar curado, y $y=1$ para curarse. Los datos son entonces
y Group Sex n
1 0 Group A Female 460
2 0 Group A Male 430
3 0 Group B Female 450
4 0 Group B Male 445
5 1 Group A Female 40
6 1 Group A Male 70
7 1 Group B Female 50
8 1 Group B Male 55
Vamos a modelar el riesgo de ser curado usando
$$ \log \left( \dfrac{p}{1-p} \right) = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3x_1x_2 $$
Aquí:
- $\beta_0$ es la categoría de referencia (mujeres del grupo A).
- $\beta_1$ es el efecto de estar en el grupo B
- $\beta_2$ es el efecto de ser hombre
- $\beta_3$ es la interacción del grupo B y el hecho de ser hombre.
Por lo tanto, el riesgo de ser curado en la escala logit del grupo A es
$$\log \left( \dfrac{p}{1-p} \right) = \beta_0 + \beta_2$$
y el riesgo de ser curado en la escala logit del grupo B es
$$\log \left( \dfrac{p}{1-p} \right) = \beta_0 + \beta_1 + \beta_2 + \beta_3$$
La diferencia de riesgos es la cantidad $\beta_1 + \beta_3$ . Nuestro nulo es que $\beta_1 + \beta_3 = 0$ frente a la alternativa de que $\beta_1 + \beta_3 \neq 0$ . Utilizando R para realizar los cálculos...
# Fit a logistic regression to the data
mod<-glm(y ~ Group*Sex, data = model_data, family=binomial(), weights = n)
# Extract the covariance matrix for the coefficients
Sigma = vcov(model)
# Compute the standard error of the estimate using the covariance matrix
x = c(0, 1, 0, 1)
b = sum(coef(mod) %*% x)
se_b = x %*% Sigma %*% x
# Test statistic
z = b/sqrt(se_b)
>>> -1.43
La estadística de la prueba es $z = -1.43$ lo que arroja un valor p de aproximadamente 0,15. No podríamos rechazar la hipótesis nula de que los varones tienen diferentes riesgos de curarse en las distintas poblaciones.
EDITAR:
Puede haber una forma más sencilla de comprobarlo. La hipótesis planteada se refiere realmente a la homogeneidad de las odds ratio entre estratos, aquí estratificados por población. Podemos hacerlo utilizando la prueba de homogeneidad de Cochran. Trabajaré con log odds ratios porque son ligeramente más simples algebraicamente.
Dejemos que $\hat{\theta}_k$ sea el logaritmo de las probabilidades en el $k^{th}$ estratos. Sea $\hat{\theta}$ sea la estimación de la odds ratio marginal (agrupando estratos). Asintóticamente,
$$\widehat{\theta}_{k}-\theta \stackrel{d}{\approx} N\left(0, \sigma_{\widehat{\theta}_{k}}^{2}\right)$$
Dejemos que $\tau_k = \sigma^{-2}_{\hat{\theta}_k}$ sea la precisión estimada de la log odds ratio. Un estadístico de prueba para la homogeneidad de las odds ratio es
$$X_{H, C}^{2}=\sum_{k} \widehat{\tau}_{k}\left(\widehat{\theta}_{k}-\hat{\theta}\right)^{2}$$
Donde $X^2_{H, C} \sim \chi^2_{K-1}$ . Cuando calculo esta estadística de prueba, obtengo $X^2_{H, C} = 3.136$ que arroja un valor p de 0,076, de nuevo sin rechazar la nulidad. Para más información, véase la sección 4.6.2 de este libro .
