Cada matriz se puede escribir como una suma de matrices unitarias?

Question

Cualquier matriz $A \in Gl(n, \mathbb{C})$ se puede escribir como una combinación lineal finita de elementos de $U_i\in U(n)$:

$$A = \sum_{i} \lambda_i U_i$$

Es esto cierto, ¿cómo podría demostrarlo?

Answer 1

La referencia a la MathOverflow pregunta es buena. Si $A$ es una matriz compleja, puede normalizar por lo que el $\|A\| \le 1$. Entonces $$A = B + iC$$ donde $B$, $C$ son selfadjoint y dado por $$B = \frac{1}{2}(a+a^{\estrella}),\;\;\; C=\frac{1}{2}(a-a^{\estrella}).$$ Estos selfadjoint operadores también satisfacer $\|B\| \le 1$$\|C\|\le 1$, lo que significa que sus valores propios-que debe ser real -$[-1,1]$. A continuación, se puede descomponer $B$ $C$ $$B = \frac{1}{2}(U_{B}+V_{B}),\;\;\; C=\frac{1}{2}(U_{C}+V_{C})$$ donde $U_{B}, V_{B}, U_{C}, V_{C}$ son unitarias y dado por $$U_{B} = B + i\sqrt{I-B^2},\;\; V_{B}=B-i\sqrt{I-B^2} \\ U_{C} = C + i\sqrt{I-C^2},\;\; V_{C}=C-i\sqrt{I-C^2}$$ Esto tiene sentido debido a la $I-B^2$ $I-C^2$ son selfadjoint con sus valores propios en $[0,1]$; de modo que las raíces cuadradas son definidos que también tienen valores propios en $[0,1]$. Se puede comprobar que $$U_{B}U_{B}^{\estrella}= U_{B}^{\estrella}U_{B} = (B-i\sqrt{I-B^2})(B+i\sqrt{I-B^2})=B^2+(I-B^2)=I.$$ Entonces $\frac{1}{2}(U_{B}+V_{B})=B$, $\frac{1}{2}(U_{C}+V_{C})=C$ y $A=B+iC$ es una combinación lineal de matrices unitarias.

Answer 2

Es sabido que todos los complejos de la plaza matriz $A$ se puede escribir como una combinación lineal de más de dos unitario de las matrices. En primer lugar, por la escala, se puede asumir que el $\|A\|\le1$. Luego, por la descomposición de valor singular, usted también puede asumir que $$A=\operatorname{diag}(s_1,\ldots,s_n)$$ donde los valores singulares de a $s_j$s son reales no negativos y acotada arriba por $1$. Ahora, como $s_j=\frac12(z_j+\bar{z}_j)$ donde $z_j=s_j+i\sqrt{1-s_j^2}$ tiene unidad de módulo, se deduce que el $A$ es el promedio de dos matrices unitarias.

Hay también abierta la conjetura de que cada una matriz cuadrada es una combinación lineal de más de cuatro reales ortogonal de matrices. Ver Chi-Kwong Li y Edward Poon, Descomposición Aditiva de la Real Matrices, Lineal y Multilineal Álgebra, 50(4):321-326, 2002.

Answer 3

No veo un elemental de álgebra lineal de la prueba ahora mismo, pero una respuesta es dada en este MO-pregunta, a saber, que en un $C^*$-álgebra, cualquier operador es la combinación lineal de los cuatro operadores unitarios. El álgebra $M(n, \mathbb{C})$ $n × n$ matrices de más de $\mathbb{C}$ se convierte en un $C^*$-álgebra si consideramos las matrices como operadores en el espacio Euclidiano $\mathbb{C}^n$, y utilizar el operador de la norma $||.||$ sobre matrices.