Tal vez de otra manera. Vi lo siguiente como un ejercicio.
Supongamos que $X$ sea un espacio polaco y que $\rho$ una métrica que induce la misma topología en $X$ . Considere $\{x_n\}$ un subconjunto denso (contable) od $X$ . Definamos:
$$ h : X \to [0,1]^{\mathbb N}\,,\quad x \mapsto \left(\frac{\rho(x,x_n)}{1+\rho(x,x_n)}\right)_{n\geq 0}$$
que definen un homeomorfismo de $X$ a su imagen en $[0,1]^{\mathbb N}$ equipado con la topología del producto. Consideremos ahora la distancia $d$ (que inducen la topología del producto) en $[0,1]^{\mathbb N}$ dado por
$$ d(a,b) = \sum_{n\geq 0} 2^{-n} \lvert a_n-b_n\rvert\,.$$
Obsérvese que $([0,1]^{\mathbb N},d)$ es separable. Finalmente consideramos ahora el espacio $(X,\hat\rho)$ donde
$$ \hat \rho (y,z) = d(h(x),h(y)) $$ .
$\hat \rho$ inducir a $X$ la misma topología que $\rho$ . Además, $(X,\hat\rho)$ es precompacto y su terminación $(\hat X,\hat\rho)$ es compacto. El espacio $C(\hat X)$ las funciones continuas en $\hat X$ es separable. Entonces $U_b(X)$ el espacio de las funciones acotadas y uniformemente continuas sobre $(X,\hat \rho)$ es separable.
El problema de este método es que $\hat \rho$ inducen la misma topología que $\rho$ en $X$ pero generalmente no es completa? Así que $\hat \rho$ no puede ser elegido como una buena métrica en $X$ vista como un espacio polaco, si es correcto.
