Restricción del Estado a la unitización

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*$ -álgebra con unitización $\widetilde{A}$ . Supongamos que $\omega$ es un estado en $\widetilde{A}$ tal que $\omega(A)\ne 0$ . ¿Es cierto que $\omega\vert_A$ es un estado en $A$ ?

Puedo demostrar que $\omega\vert_A$ es positivo y satisface $\|\omega\vert_A\|\le \|\omega\|=1$ pero no veo la otra desigualdad. Intenté jugar con una unidad aproximada pero no funcionó.

Answer 1

No, no es cierto. Considere por ejemplo $A=c_0$ y $\omega$ sea dada por $$ \omega(x,\lambda)=\tfrac{x_1}2+\lambda. $$ Este es un estado, pero $\|\omega|_A\|=\tfrac12$ . Uno puede ver esto fácilmente, pensando en $c_0+\mathbb C1$ como operadores de multiplicación en $\ell^2$ . Entonces $$ \omega(x,\lambda)=\tfrac12\,\big[\langle (x,\lambda)e_1,e_1\rangle+\langle (x,\lambda)e_2,e_2\rangle\big], $$ una combinación convexa de estados.

En general, cualquier $\varphi\in A^*_+$ con $\|\varphi\|\leq1$ admite una extensión a un estado en $\tilde A$ . En efecto, definimos $$ \tilde\varphi(a,\lambda)=\varphi(a)+\lambda. $$ Esto es obviamente lineal y unital, por lo que basta con demostrar que es positivo. Para ello, \begin{align} \big|\tilde\varphi\big((a,\lambda)^*(a,\lambda)\big)\big| &=\varphi(a^*a+2\operatorname{Re}\overline\lambda a)+|\lambda|^2\\[0.3cm] &=\varphi(a^*a)+2\operatorname{Re}\overline\lambda\,\varphi(a)+|\lambda|^2\\[0.3cm] &\geq|\varphi(a)|^2+2\operatorname{Re}\overline\lambda\,\varphi(a)+|\lambda|^2\\[0.3cm] &=|\varphi(a)+\lambda|^2\geq0. \end{align} La desigualdad clave es La desigualdad de Schwarz de Kadison que junto con $\|\varphi\|\leq1$ nos da $$|\varphi(a)|^2\leq\|\varphi\|\,\varphi(a^*a)\leq\varphi(a^*a).$$