Mientras jugaba con el Teorema de Girsanov me topé con el siguiente absurdo y no pude resolverlo con los conocimientos actuales de análisis estocástico que tengo.
$B$ siendo el movimiento browniano estándar (SBM) defino el proceso estocástico $X$ como $X_t = \mu t + B_t$ para algunos $\mu \geq 0$ . Entonces, para un $m > 0$ Defino el tiempo de golpeo $\tau = \inf\{t\geq 0: X_t = m\}$ .
Si aplico el teorema de Girsanov con $Z_t = e^{-mu B_t -\frac{1}{2}\mu^2t}$ , Tengo que $X$ es SBM bajo la medida $(Q_t)_{t\geq 0}$ definido como $Q_t(A) = E^P[Z_t\mathbf{1}_A]$ .
Había derivado la función generadora de momentos del tiempo de golpeo de una sola barrera del SBM, así que la utilizaré aquí. $$E^Q[e^{-\lambda\tau}] = e^{\sqrt{2\lambda}m}$$
Pero entonces $E^Q[e^{-\lambda\tau}] = E^P[e^{-\lambda\tau}Z_t]$ . Si sustituyo la expresión por $Z_t$ en esta igualdad obtengo $$E^P[e^{-(\lambda\tau + \mu B_t)}] = e^{\sqrt{2\lambda}m}e^{\frac{1}{2}\mu^2t}\qquad \qquad \triangle$$ Sé que $E^P[e^{-\mu B_t}] = e^{\frac{1}{2}\mu^2t}$ . Entonces parece que bajo la medida $P$ la función generadora de momentos conjunta de $\tau$ y $B_t$ factores, lo que implica que son independientes. Esto no puede ser correcto ya que
$$P\{\tau \leq t, B_t > m\} = P\{B_t > m\}$$
Esto llevaría a la contradicción de que $\tau \leq t$ casi seguro. Lo que también es un disparate es que si tomo $\mu = 0$ en $\triangle$ Me sale $E^P[e^{-\lambda\tau}] = e^{\sqrt{2\lambda}m}$ . No puedo convencerme de que la función generadora de momentos de $\tau$ podría ser la misma con dos medidas diferentes.
Estoy casi seguro de que hay algo raro en la forma en que estoy aplicando el teorema de Girsanov, pero no veo dónde. Agradecería que alguien me indicara mi error y que posiblemente deduzca la verdadera expresión de $E^P[e^{-(\lambda\tau + \mu B_t)}]$ .
