¿Qué significa pasar de un vector covariante a un vector contravariante?

Question

En la mayoría de las presentaciones de la relatividad general veo la siguiente afirmación,

Podemos pasar de un vector covariante a un vector contravariante utilizando la métrica de la siguiente manera, ${ A }^{ \mu }={ g }^{ \mu \nu }{ A }_{ \nu }$

Mis preguntas son,

1. ¿Cuál es la necesidad de hacer este cambio particular en la relatividad?
2. Las componentes covariantes representan las componentes de un vector las componentes contravariantes representan las componentes de un vector dual, para espacios vectoriales de dimensión finita los dos espacios son isomorfos. ¿Cuál es el significado de representar una cantidad en formas contravariantes o convariantes? ¿Es una necesidad puramente matemática?

Answer 1

Se trata de dos conceptos diferentes. Dado un colector, un vector es un objeto geométrico asociado a cada punto de la variedad . Se puede descomponer en componentes con respecto a un conjunto de vectores base.
$A = A^\mu \hat e_{(\mu)}$
donde:
$\mu = 0, 1, 2, 3$
$A$ vector
$A^\mu$ componentes contravariantes
$\hat e_{(\mu)}$ vectores base
El objeto geométrico es una realidad independiente del sistema de coordenadas. Una caracterización viene dada por su cuadrado.
$A^2 = A \cdot A = A^\mu \hat e_{(\mu)} \cdot A^\nu \hat e_{(\nu)} = \hat e_{(\mu)} \cdot \hat e_{(\nu)} A^\mu A^\nu = g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu$
donde:
$\cdot$ producto escalar (punto)
$g_{\mu\nu} = \hat e_{(\mu)} \cdot \hat e_{(\nu)}$ tensor métrico
El cuadrado también puede escribirse como
$A^2 = A_\mu A^\mu$
donde:
$A_\mu = g_{\mu\nu} A^\nu$
Según lo anterior, podemos definir el vector dual.
$\tilde A = A_\mu \hat \theta^{(\mu)}$
donde:
$\tilde A$ vector dual
$A_\mu$ componentes covariantes
$\hat \theta^{(\mu)}$ vectores duales de base
Al exigir
$\hat \theta^{(\mu)} (\hat e_{(\nu)}) = \delta^\mu_\nu$
donde:
$\delta^\mu_\nu$ Delta de Kronecker
podemos escribir la acción del vector dual sobre el vector como
$\tilde A (A) = A_\mu \hat \theta^{(\mu)} (A^\nu \hat e_{(\nu)}) = A_\mu A^\nu \hat \theta^{(\mu)} (\hat e_{(\nu)}) = A_\mu A^\nu \delta^\mu_\nu = A_\mu A^\mu$
Por lo tanto, un vector dual es un mapa lineal del espacio vectorial a los números reales .
Definiendo el tensor métrico inverso como
$g^{\mu\lambda} g_{\lambda\nu} = \delta^\mu_\nu$
donde:
$g^{\mu\nu}$ tensor métrico inverso
también hemos
$A^\mu = g^{\mu\nu} A_\nu$

Answer 2

1. Porque hay que identificar vectores con covectores y eso es posible sólo a través de la métrica. Si piensas en los componentes: tienes tienes índices superiores e inferiores que reflejan la forma en que un tensor se transforma bajo un cambio de coordenadas. La posición de los índices refleja sólo eso, por lo que quiero algo que me permita identificar el tensor con diferente disposición de los índices.

2. La diferencia es que si bajas un índice superior cambias las cantidades que contiene por la métrica. Si tienes el cuatrivector de momento $P^\mu=(E, \textbf{p})$ y bajas el índice, en particular, $P_o$ ya no es la energía, ya que se obtiene $P_o=g_{o\mu}P^\mu$ .

Sin embargo, esto es sólo un tratamiento aproximado, ¡salud!