$f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e$ donde $b,c,d,e$ son números reales y $3b^2<8c$ . Demuestre que la función $f(x)$ tiene un único mínimo.

Question

PREGUNTA: Consideremos la función de valor real $f$ definida en el intervalo $(-\infty,\infty)$ por $f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e$ donde $b,c,d,e$ son números reales y $3b^2<8c$ . Demuestre que la función $f(x)$ tiene un único mínimo.

MI ENFOQUE: $f'(x)=4x^3+3bx^2+2cx+d$ . Ahora en los puntos estacionarios, $f'(x)=0$ lo que implica que $4x^3+3b^2+2cx+d=0$ . Si puedo demostrar que esta ecuación sólo se satisface para uno y sólo un real $x$ entonces el problema está resuelto. Esto implica que el discriminante debe ser negativo.. He aplicado la fórmula del discriminante de una ecuación cúbica que es $D=a^2b^2+18abc-4b^3-4a^3c-27c^2$ . Ahora, después de algunos cálculos, llego a $\frac{9}{16}b^2+\frac{27}4bc-\frac{27}{16}b^3-2c-\frac{27}4c^2$ . Ahora, como puedes ver, estoy claramente perdido aquí

¿Hay algún método más inteligente para pensar en esto? Ni siquiera pude implementar la condición dada que $3b^2<8c$ . Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que hay dos (o más) mínimos (locales). Entonces hay dos (o más) ceros de la primera derivada y, por el teorema del valor medio (o simplemente el teorema de Rolle), un cero de la segunda derivada, entre dos ceros cualesquiera de la primera.

Ahora $f''(x) = 12 x^2 + 6 b x + 2c$ tiene un discriminante $36b^2 - 96 b = 12(3b^2 - 8 c)$ ...que debería ser algo de lo que se pueda hablar...

Answer 2

Para $4x^3+3bx^2+2cx+d=0$ para tener una sola solución real. El signo de la pendiente de $f'(x)=4x^3+3bx^2+2cx+d$ no debe cambiar, es decir $f^{''} > 0$ (o $< 0$ ) para todos los $x$ . Por lo tanto, queremos $12x^2+6bx+2c > 0$ para todos $x$ . Esto sólo ocurrirá cuando el discriminante $3b^2-8c$ de esta expresión cuadrática es $< 0$ .