Supongamos que tengo un grupo $G$ y un subgrupo normal $H$ . Conozco la estructura de $G/H$ así como la estructura de $H$ . ¿Es posible recuperar la estructura original de G a partir de esto?
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Xenph Yan
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Por desgracia, no; el ejemplo más sencillo es $G_1=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ y $H_1=2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ en comparación con $G_2=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ y $H_2=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\{\overline{0}\}$ . Tenemos $$H_1\cong H_2\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\qquad G_1/H_1\cong G_2/H_2\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ pero $G_1\not\cong G_2$ . El problema general de determinar qué grupos $G$ podría surgir, dado un subgrupo normal especificado y el cociente correspondiente, se denomina problema de extensión del grupo .
Hay un dato importante que ha omitido: si $H$ es normal en $G$ entonces $G$ actúa sobre $H$ por conjugación, por lo que existe un homomorfismo $G/H \to Out(H)$ (el grupo de automorfismos externos de $H$ ); sin recordarlo, no habría posibilidad de reconstruir $G$ .
Ahora en general dando $G/H$ , $H$ y un mapa de $G/H$ a $Out(H)$ no hay todavía no hay posibilidad de reconstruir $G$ . Por ejemplo, aunque $G$ y $H$ son abelianas, por lo que el homomorfismo $G/H \to Out(H)$ es trivial, la respuesta de Zev da un contraejemplo.
Sin embargo, si $G/H$ y $H$ son finitos de orden coprimo, entonces de hecho cualquier extensión de $G/H$ por $H$ es necesariamente un producto semidirecto, por lo que en este caso tu pregunta (convenientemente modificada recordando la acción de conjugación) tiene una respuesta positiva. Este es el teorema de Schur--Zassenhaus.
Por eso los contraejemplos (como en la respuesta de Zev) tienden a centrarse en $p$ -grupos.
