ecuación $x+y=z$ en $\{1,\dots,n\}$

Question

Dejemos que $k,n$ sean dos enteros positivos tales que $n\ge k>\frac{n+1}{2}$ .

Demostrar que cada $k$ -subconjunto de elementos de $\{1,\dots,n\}$ contiene números $x,y,z$ satisfaciendo $x+y=z$ .

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Problema encontrado en los materiales de formación de las olimpiadas. Pasé mucho tiempo en él, pero sin ninguna idea.

Answer 1

Toma el número más pequeño $a$ en el $k$ conjunto y restarlo de los demás. Suponiendo que $x+y=z$ nunca se mantiene en el $k$ conjunto, el mapa $x\mapsto x-a$ le da una biyección desde el $k$ conjunto que excluye $a$ al complemento de la $k$ (posiblemente incluyendo $a$ ). Por lo tanto, debería haber tantos elementos dentro como fuera. Pero $k>\frac{n+1}{2}$ .