¿Hay matroides con $\mathcal F(M) \subsetneq \mathcal F(M^*)$ o $\mathcal C(M) \subsetneq \mathcal C(M^*)$ ?

Question

Dejemos que $M$ sea un matroide con su matroide dual $M^*$ . Además, $\mathcal C(M)$ denota el conjunto de circuitos de $M$ y $\mathcal F(M)$ es el conjunto de sus pisos.

Pregunta : ¿Existe un matroide con $\mathcal F(M) \subsetneq \mathcal F(M^*)$ o $\mathcal C(M) \subsetneq \mathcal C(M^*)$ ?

Answer 1

Para la cuestión del circuito está el caso trivial $$M=(S,\mathcal{P}(M))$$ Entonces $$M^*=(S,\{\emptyset\})$$ y $ \mathcal C(M)=\emptyset$ , $\mathcal C(M^*)=\{\{s\}| s\in S\}$ , así que trivialmente $\mathcal C(M)\subsetneq \mathcal C(M^*)$ . También, $\mathcal{F}(M)=\mathcal{P}(M)$ mientras que $\mathcal{F}(M^*)=S$ Así que $\mathcal{F}(M^*)\subsetneq \mathcal{F}(M)$

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Aquí hay un ejemplo menos trivial para los circuitos (suprimirá algunos de los $\{\}$ ):

$$M=(\{1,2,3,4\},\{1,2,3,4,13,14,23,24,234,134,\emptyset\})$$ Entonces $$M^*=\{\{1,2,3,4\},\{1,2,\emptyset\}\}$$ y $\mathcal C(M)=\{12\}$ mientras que $\mathcal C(M^*)=\{3,4,12\}$

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He aquí un ejemplo menos trivial para los pisos: $U_{k,n}$ denota el matroide uniforme en $n$ elementos.

$$\mathcal F(U_{k,n})=\{X: |X|<k\} \cup \{X: |X|=n\}$$ $$\mathcal F(U_{k,n}^*)=\mathcal F(U_{n-k,n})=\{X:|X|<n-k\} \cup \{X: |X| = n\}$$ Así que si $k< n-k$ entonces $U_{k,n}$ satisface $\mathcal F(U_{k,n})\subsetneq \mathcal F(U_{k,n}^*)$

Answer 2

En primer lugar, tenemos una terminología útil. Sea $M,N$ sean matroides en un conjunto común de tierra $E$ . El mapa de identidad en $E$ se extiende a un mapa $M \to N$ y, si $\mathcal{\mathcal{F}(N)} \subseteq \mathcal{\mathcal{F}(M)}$ entonces esta extensión se llama mapa fuerte . Equivalentemente, $M \to N$ es un mapa fuerte si cada circuito de $M$ es una unión de circuitos de $N$ . Si hay un mapa fuerte $M \to N$ , entonces el par $(M,N)$ se llama perspectiva matroidal . Del mismo modo, si cada circuito de $M$ es un circuito de $N$ entonces $M \to N$ es un mapa débil . Nótese que todo mapa débil es también un mapa fuerte.

Reformulada con esta terminología, la pregunta del PO dice

¿Existe un matroide que no sea idénticamente autodual y que tenga un mapa fuerte o un mapa débil hacia su dual?

Ahora vamos a generalizar el ejemplo de @user2520938 donde $M^* = \{[4],\{\emptyset, 1,2\}\}$ . Tenga en cuenta que $M^*|\{1,2\}$ es un matroide idénticamente autodual y tanto 3 como 4 son bucles en $M^*$ .

Dejemos que $N$ sea cualquier matroide obtenido a partir de un matroide idénticamente autodual añadiendo un número finito $k>0$ de bucles. Entonces $N^* \to N$ es un mapa débil (y por tanto un mapa fuerte) sobre su dual.

Para un matroide idénticamente autodual $M$ dejar $N = M \cup L$ donde $L$ es una colección finita no vacía de bucles. Entonces $N^*$ es una extensión libre de $M^*$ que consiste en al menos $|L|$ coloops. Entonces tenemos $$\mathcal{C}(N^*) = \mathcal{C}(M^*) = \mathcal{C}(M) \subsetneq \mathcal{C}(M) \cup L = \mathcal{C}(N),$$ como se desee.

Esto da un gran número de ejemplos a la pregunta del PO, cada uno de los cuales es ligeramente insatisfactorio debido a la trivialidad de su construcción. Sería interesante saber si hay construcciones menos triviales, es decir, si existe un matroide sin bucles $M$ tal que existe un mapa débil desde $M$ en su doble.