Dejemos que $a_n$ sea una secuencia s.t $a_1 > 0 \land a_{n+1} = a_n + \dfrac{1}{a_n}$ . Demostrar que $a_n$ es creciente y tiende a infinito

Question

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia s.t $a_1 > 0 \land a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$ . Demostrar que $a_n$ es creciente y tiende a infinito.

Prueba:

Considere $a_{n+1} - a_n$ :

$a_{n+1} - a_n = a_n + \frac{1}{a_n} - a_n = \frac{1}{a_n}$ Esto es mayor que $0$ . Así, $a_n$ está aumentando.

Ahora es cuando necesito ayuda. Me gustaría decir que $a_n$ es inabarcable y entonces se concluye que monótona e inabarcable implica que tiende a infinito.

¿Tal vez por contradicción?

Answer 1

Sí, la contradicción funcionará. Supongamos que la secuencia está limitada por $M$ . Entonces $a_{n+1}=a_n+1/a_n> a_n+1/M$ . Por inducción, tenemos que $a_{n+k}>a_N+k/M$ . Por lo tanto, $a_{n+M^2}>a_n+M^2/M=a_n+M>M$ , lo cual es una contradicción.

Answer 2

Has demostrado que $a_n$ está aumentando. Supongamos que está acotado. Entonces se deduce que $a_n$ es convergente a un número real $L>0$ . Pero tomando $n \to \infty$ en la relación de recurrencia da $$ L+\frac{1}{L}=L$$ que es una contradicción. Por lo tanto, $a_n$ no tiene límites y se deduce que $a_n \to \infty$ .

Answer 3

Una pista: $$\text{For every} \ \ x>0 \ \ , \ \ x+\frac{1}{x}\geq2$$ aumentando con x el valor de 1/x disminuirá pero la función global x+1/x aumentará y llegará al infinito.

Answer 4

Para demostrar que es una secuencia creciente, basta con observar que la función $ f(x)=x+\frac{1}{x} $ es una función creciente para $x>1$ . Para demostrarlo, basta con encontrar la primera derivada y comprobar si es positiva para $x > 1$

$$ f'(x)=1-\frac{1 }{x^2} > 0 \,, \forall x > 1 \,. $$