Si $A \in L(R^n,R^m)$ entonces $||A|| < \infty$ y A es un mapeo uniformemente continuo de $R^n$ en $R^m$ .

Question

Definición: para $A \in L(R^n,R^m)$ definir la norma $||A||$ de A sea el sup de todos los números $|Ax|$ donde x abarca todos los vectores de $R^n$ con $|x| \leq 1$ . Observe que $|Ax| \leq ||A|| |x|$ es válida para todos los $x \in R^n$ . Si $\lambda$ es que $|Ax| \leq \lambda |x|$ para todos $x \in R^n$ entonces $||A|| \leq \lambda$ .

Teorema: Si $A \in L(R^n,R^m)$ entonces $||A|| < \infty$ y A es un mapeo uniformemente continuo de $R^n$ en $R^m$ .

Prueba: Sea ${e_1,..,e_n}$ sea la base estándar en $R^n$ y supongamos $x=\sum c_i e_i$ , $|x| \leq 1$ para que $|c_i| \leq 1$ para $i=1,...,n$ . Entonces $$|Ax|=| \sum c_i A e_i| \leq \sum |c_i| |A e_i| \leq \sum |A e_i|$$ para que $$||A|| \leq \sum_{i=1}^n |A e_i| < \infty$$ . Desde $$|Ax-Ay| \leq ||A|| |x-y|$$ si $x,y \in R^n$ La afirmación queda demostrada.

¿Puede alguien explicar el cómo la desigualdad $|Ax| \leq ||A|| |x|$ demostrar que el mapeo es uniformemente continuo, y que $\lambda$ en este contexto? Por cierto, esto es del libro de Rudin.

Answer 1

Si $A=0$ entonces es uniformemente continua por lo que supondré que $A \neq 0$ . Si $\epsilon >0$ se da toma $\delta =\frac {\epsilon} {\|A\|}$ . Entonces $\|Ax-Ay\| \leq \|A\| \|x-y\|<\epsilon$ siempre que $\|x-y\| <\delta$ . Por definición, esto demuestra que $A$ es uniformemente continua.

$\lambda$ es un número positivo cualquiera.

Answer 2

Yo no diría que son "similares", pero están relacionados. Porque si $\varepsilon>0$ es arbitraria, dejemos que $\delta=\varepsilon/\lambda.$ (Suponiendo que $\lambda\neq 0$ ; $\lambda=0$ es el caso fácil).

Entonces

$$\|Ax-Ay\| = \|A(x-y)\| \le \lambda |x-y|<\lambda \delta = \varepsilon$$

siempre que $|x-y|<\delta.$

Esta prueba no depende de la fijación de $x$ para que muestre la continuidad en todo $x$ con la misma elección de $\varepsilon$ y, por tanto, muestra la continuidad uniforme de $A$ .