Resuelve la ecuación $p^3x-p^2y-1=0$ donde $p=\frac {dy}{dx}$

Question

Resuelve la ecuación $p^3x-p^2y-1=0$ donde $p=\frac {dy}{dx}$

Mi intento:

$$p^3x-p^2y-1=0$$ $$p^2y=p^3x-1$$ $$y=px-\frac {1}{p^2}$$ Esto se puede resolver para $y$ por lo que diferenciando ambos lados con respecto a $x$ $$\frac {dy}{dx} = p + x \cdot \frac {dp}{dx} - (-2) p^{-3} \cdot \frac {dp}{dx}$$ $$p=p+x\cdot \frac {dp}{dx} + \frac {2}{p^3} \cdot \frac {dp}{dx}$$ $$x\cdot \frac {dp}{dx} + \frac {2}{p^3} \cdot \frac {dp}{dx}=0$$ $$(x+\frac {2}{p^3}) \cdot \frac {dp}{dx}=0$$ ¿Cómo puedo seguir resolviendo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $y=xp-\frac1{p^2}$ ya es una instancia de Ecuación de Clairaut . Como tal, tiene las soluciones $$y=kx-\frac1{k^2}\qquad(x,y)=(-2/t^3,-3/t^2)$$ donde la solución singular puede explicitarse como $$y=-3\left(\frac x2\right)^{2/3}$$

Answer 2

La ecuación inicial es

$$y'x-y-\frac1{y'^2}=0$$

y diferenciando,

$$y''x+2\frac{y''}{y'^3}=0$$

Nos dividimos en dos casos: $$y''=0\to y=ax+b$$ y $$y'=-\sqrt[3]{\frac2x}\to y=-\frac32\sqrt[3]{2x^2}+c.$$

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Volver a introducir la ecuación

$$p=a\to a^3x-a^2(ax+b)-1=0$$ implica $b=-\dfrac1{a^2}$ y

$$p=-\sqrt[3]{\frac2x}\to-\frac2xx+\sqrt[3]{\frac4{x^2}}\left(\frac32\sqrt[3]{2x^2}+c\right)-1=0,$$ requiere $c=0.$

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Finalmente $$y=ax-\frac1{a^2}$$ o $$y=-\frac32\sqrt[3]{2x^2}.$$