$A,B$ son dos matrices reales positivas, entonces $\det (A+B) > \max(\det A , \det B)$

Question

Dejemos que $A,B$ dos matrices cuadradas-reales-positivas. Demostrar que $\det (A+B) > \max(\det A , \det B)$

Así que encontré esta solución: https://math.stackexchange.com/a/41478/160028

Básicamente, si $A=I_n$ y $B$ es diagonal entonces la prueba es inmediata.

Ahora, sé que si $M$ es simétrico-positivo entonces:

• $M$ es conjugado con $I_n$ .
• $M$ es conjugado con $\text{Diag}(c_1,\ldots,c_n)$ donde $c_i > 0$ .

pero por lo que tengo entendido no tiene que ser lo mismo $P$ . En cualquier caso, ¿cómo lo utilizo para demostrar la desigualdad?

Gracias.

Answer 1

Podemos demostrar que un $P$ existe lo siguiente:

En primer lugar, supongamos que sólo tenemos $P^TAP = I$ . A continuación, aplique el teorema espectral para encontrar un ortogonal $U$ tal que $U^T(P^TBP)U = D$ es diagonal. Entonces tenemos $$ (PU)^T(A + B)(PU) = \\ U^T(P^TAP)U + U^T(P^TBP)U = \\ U^T(I)U + D =\\ I + D $$ Así, la nueva matriz $PU$ hace el trabajo.