Estoy trabajando con el libro ``Probability with Martingales'' de David Williams. En la clase que estoy tomando, cubrimos la siguiente prueba.
Considere $\mu$ una medida sobre $(S,\Sigma)$ donde $S$ es un conjunto (no necesariamente un espacio muestral) y $\Sigma$ es un $\sigma-$ álgebra en este conjunto. Suponemos que $\mu$ es contablemente aditivo, es decir $$\mu(\emptyset)=0$$ Si $\{A_{i}:i\in\mathbb{N}\}$ son una secuencia de conjuntos medibles disjuntos conjuntos, entonces $$ \mu(\bigcup_{i}A_{i})=\sum_{i}\mu(A_{i}) $$
Por último, formamos la triple $(S,\Sigma,\mu)$ un espacio de medidas. Nosotros tenemos la siguiente \textbf{\uline{proposición}}:
Si $A_{n}\in\Sigma,$ $n\in\mathbb{N},$ entonces $$ \mu(\bigcup_{n=1}A_{n})\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n}) $$
La prueba se da como sigue:
Set $B_{1}=A_{1}$ y $B_{n}=A_{n}\backslash (\bigcup_{j=1}^{n-1}A_{j})$ ; $B_{n}'s$ disjuntos. Como tal, podemos utilizar la aditividad y obtener: $$ \mu(\bigcup_{n=1}B_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(B_{n}) $$ Desde $B_{n}\subseteq A_{n};$ $\mu(B_{n})\leq\mu(A_{n})\leq$$ \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})$
Tengo algunos problemas con esta prueba aparentemente sencilla (creo que que me falta un paso):
- La propia proposición no especifica la propiedad disjunta \emph {en cualquier lugar }y parece crucial en la prueba. La prueba no parece completa ya que no cubre los casos en los que la propiedad de desarticulación puede ser desunida.
- Incluso si tomamos esto al pie de la letra, no entiendo cómo tiene sentido mientras se prueba la construcción de un específico ejemplo de un conjunto y demostrar la propiedad para ese conjunto, y asumir que la propiedad es verdadera para todos los conjuntos. Lo he visto hacer en este curso una y otra vez para demostrar una proposición, construimos casos especiales y demostramos la proposición para esos casos. ¿Cómo podemos asumir que la proposición sería verdadera para todos los casos? En otras palabras, ¿cuándo es la construcción de una específico ¿es admisible como parte de una prueba general?
